5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.6 函数y=Asin(ωx+φ) （本课需两课时） y x O 1 1 复习引入 1.怎样用五点法作出正弦函数y=sinx在[0，2π]的图象？ 2.问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗? 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可考虑用三角函数模型刻画其运动规律． 设经过t s后，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P.则问题中与变量 t 和 H 相关的量： 思考:如图, 将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点P，经过时t后，盛水筒距离水面的高度 H 与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h， 筒车的半径 r， 筒车转动的角速度ω， 盛水筒的初始位置P0及其对应的初始角φ. 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律了.由于h为常量，我们可以只研究函数①的性质. 我们以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴,建立直角坐标系.设t = 0 时，盛水筒位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过 t s 后运动到点P(x, y).于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有 y＝rsin(ωt＋φ). ① 所以盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是 H＝rsin(ωt＋φ)＋h. ② 前面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0, ω>0) 的函数，那么这个函数的图象是什么样子的呢？它又有些什么性质呢? 显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此只要研究了这些参数的意义，知道了它们的变化对函数图象的影响，就可以把握这个函数的性质. 新知探究 函数 周期是____. ①列表 ②描点、连线 试用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象. 探究1： φ对函数y＝sin(x＋φ) 图象的影响 7 思考1：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 函数 的图象，可以看作是把函数 图象上所有的点向____平移_____个单位长度而得到的. π 2π o y x 左 1 -1 8 所有的点向左( >0) 或向右( <0)平移 |  | 个单位 结论1: 函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动||个单位而得到的. y=sinx y=sin(x+) 的变化引起图象位置发生变化(左加右减) 平移变换 练 习 探究2： ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 函数 周期是____. 用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象. ①列表 ②描点、连线 π 2π o y x 思考2：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 1 -1 函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标____到原来的___倍(纵坐标____)而得到的. 缩短 不变 12 用同样的方法我们可以作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 13 函数 的图象，可以看作是 把 的图象上所有的点横坐标 _____到原来的_____倍（纵坐标_____）而得到的. π 2π o y x 3π 伸长 2 不变 14 周期变换 y=sinx y=sinx 纵坐标不变 决定函数的周期 结论2: 函数 y=sin(x+)(>0) 的图象可以看作是把 y=sin(x+) 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的. 所有的点横坐标缩短(>1)或伸长(0< <1) 倍 探究3：A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 类比前面的研究过程，请同学们组内交流讨论A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)