5.1.2导数的概念 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学目标 （1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念。 （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义。 （3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想。 01 复习导入 复习导入 两类变化率 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 无限逼近 取极限 无限逼近 取极限 情景导入 平均速度 平均变化率 瞬时速度 瞬时变化率 导数 导数概念的形成过程 平均变化率过渡到瞬时变化率的三种思路 数值逼近 几何直观感受 解析式抽象 02 导数的概念 新知探究 平均变化率 函数，设自变量从的平均变化率 ①自变量的改变量： ②函数值的改变量： ③平均变化率： 说明：①是非零的常数。可正，可负，可0（当f(x)为常函数时） ②函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x)没有变化 新知探究 瞬时变化率 函数，设自变量从的瞬时变化率 ①自变量的改变量： ②函数值的改变量： ③瞬时变化率： 时的极限，即 新知探究 导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或， 即 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 新知探究 对导数概念的理解 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关，f′(x0)是一个常数； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 新知探究 思考： 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 探究1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 探究2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等． 新知探究 例1.设，求. 解： 新知探究 （1）求增量 （2）求平均变化率 （3）求极限 方法总结：求某点处导数值的步骤 一差、二比、三极限 新知探究 新知探究 B 新知探究 新知探究 新知探究 方法总结 新知探究 03 导数在实际问题中的意义 新知探究 l 解：在第和第时，原油温度的瞬时变化率就是和. 例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度(单位：)为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率. l 根据导数的定义， 所以，= 同理可得 新知探究 在第和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和. 说明在第附近，原油温度大约以的速率下降； 在第附近，原油温度大约以的速率上升. 一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况. 思考：= 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 新知探究 解：在第和第时，汽车的瞬时加速度就是和. 例4.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：)为 ，求汽车在第与第时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 根据导数的定义， 所以，= 在第与第时，汽车的瞬时加速度分别是和说明在第附近，汽车的速度大约增加；在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 同理可得， 新知探究 01 课堂小结 课堂小结 4.令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do16(x→x 0)) eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)， 与概念中的f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do16(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)意义相同. 练习：已知y＝eq \r(x)，则y′|x＝1＝________. 解：取Δx≠0，则Δy＝eq \r(1＋Δx)－1， ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \f(Δx,Δx（\r(1＋Δx)＋1）)＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1). ∴eq \o(lim,\s\do16(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do16(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1