2.3.4二次函数与一元二次方程、不等式(第4课时)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(4) x y o 变式一 变式二 探究六 恒成立问题-R上恒成立 例6.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 恒成立问题 最值问题 方法总结 　　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 例1 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}. 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 方法总结 跟踪训练1 　　　若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是 √ 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意； 当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得 ≤k<0， 综上，实数k的取值范围是 ≤k≤0. 注意点： 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 反思感悟 课后巩固 1. 不等式-x2+3x-2>0的解集是(　　) A.{x|x<1} B.{x|x>2} C.{x|1<x<2} D.{x|x<1,或x>2} C 2.若不等式ax2－bx+4≤0的解集为{x|1≤x≤2}，则a=_____，b=_____． 2 6 课后巩固 3.已知mx2+2mx＋8≥0在R上恒成立，则m的取值范围是________. 0≤m≤8 例2：当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}. 探究六 恒成立问题-给定范围内恒成立 　　　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A.a≥4 　　B.a≥5　　 C.a≤4 　　D.a≤5 跟踪训练2 √ 因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 在给定范围内的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 反思感悟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点， 故需要 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是 A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2<m<2} √ 因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解， 所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是 A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－4<a<4} C.{a|a≤－4或a≥4} D.{a|a<－4或a>4} √ 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是_________. x2＋(m－3)x＋m<0无解， 则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0， 解得1≤m≤9. 1≤m≤9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________________. 当k＝1时，－1<0恒成立； {k|－3<k≤1} 解得－3<k<1， 因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}. 　　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为___________. 例8 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5