2.2基本不等式课件（第1课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式（1） 问题1 试比较a2+b2与2ab的大小关系？ 解： 当且仅当a=b时，等号成立 PART 1 重要不等式 当且仅当a=b时，等号成立 文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍 问题2 特别地，如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？ PART 2 基本不等式 当且仅当a=b时，等号成立 算术平均数 几何平均数 文字表述：两个正数的算术平均数大于等于几何平均数 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) 方法三　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD， 故有△ACD∽△DCB，故CD＝ ，由于CD小于或等于圆的半径， 故用不等式表示为 ，由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 方法二　(性质法) 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. 2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. a＝b 不小于 求简单代数式的最值 例1 因为x>0， 当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 延伸探究　 1.当x<0时，求x＋ 的最大值. 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 因为x>1，故有x－1>0， 当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可. 反思感悟 跟踪训练1 (多选)下面四个推导过程正确的有 √ √ A中，∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； 最值定理 问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值. 探究一 对基本不等式的理解 知识梳理 最值定理 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 例2.已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 探究一 对基本不等式的理解 例2.已知x，y都是正数，求证： （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 探究一 对基本不等式的理解 总结：和定积最大，积定和最小 一正：符合基本不等式 成立的前提条件，a＞0，b＞0 二定：化不等式的一边为定值（a+b为定值或ab为定值） 三相等：必须存在“=”成立的条件 小结--基本不等式求最值问题 一正、二定、三相等！！！！！！ 和定积最大，积定和最小 例2 (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 因为x>0，y>0， √ 当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81. (2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是 A.4 　　 B. 　　　 　C.9 　　 D.18 因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2　　＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18. √ 已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为 A.2,2 　　B.2,4 　　C.4,4 　　D.4,2 跟踪训练2 √ 因为a＞0，b＞0， 所以a＋2b取得最小值时a，b的值分别为4,2. 探究二 和定积最大，积定和最小 例3 求函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。 (1)若a≠0,则a+≥2=6. (　　) × [解析]只有当a>0时,不等式a+≥2=6才成立. (2)若x>2,则x+的最小值为2. (　　) [解析]当且仅当x=1时,x+才能取