2.1.1不等关系与不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1.1 不等关系与不等式 生活中有哪些不等关系的例子？ （1）某路段限速40km/h; （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。 0<v≤40 问题1 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 问题1 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ 设△ABC的三条边为a，b，c，则 a + b ＞ c ，a – b ＜ c . 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE. C D E A B 知识梳理 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于， 高于， 超过 小于， 低于， 少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于， 至多， 不超过 符号语言 __  __ ___ ___ > <  ≥ ≤ (1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 跟踪训练1 　　　 用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； 0<h≤4. (2)a与b的和是非负实数； a＋b≥0. 　　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 例1 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 小结 用不等式表示实际问题中的不等关系： 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的量 用不等号连接字母，建立不等式 问题2 如何比较两个式子之间的大小关系？ 　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 看个例子！ PART 1 比较实数a，b的大小 知识梳理 基本事实 依据 a>b⇔ ； a＝b⇔ ； a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0 的大小 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 注意点： 探究一 数（式）大小的比较 (1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2)比较3x3与3x2－x＋1的大小． 例1 例1 数（式）大小的比较 (1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 解：因为 (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4) =2>0 所有(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4) 例1 数（式）大小的比较 (2)比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：因为 3x3－(3x2－x＋1) =3x3－3x2＋x－1 =3x2(x－1)＋(x－1) =(x－1)(3x2+1) 所以，当x－1>0即x>1时，3x3>3x2－x＋1； 当x－1=0即x=1时，3x3=3x2－x＋1； 当x－1<0即x<1时，3x3<3x2－x＋1； 作差法比较两个实数大小的基本步骤 反思感悟 小结：比较大小 巩固练习 已知ab>0，a>b，求证 PART 2 重要不等式 问题3　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 　　已知a>0，b>0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； 例3 因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b). (2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b. 因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以