4.2.2 等差数列前n项和公式课件（第1课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列前项和公式 第1课时 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1.掌握等差数列前项和公式及其推导过程（倒序相加求和法）. 2. 体会转化和化归的数学思想. 3.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、情境导入 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，被誉为“数学王子”.轶事典故：3岁纠错、10岁快速求和、16岁时预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几何学，19岁破解困扰数学家2000多年的难题，用圆规和无刻度直尺画正十七边形。 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 问题1：计算1+2+3+…+99+100的值 二、新课讲授 1、等差数列前项和公式 =1+2+3+…+99+100 =（1+100）+（2+99）+…+（50+51） =101+101+…+101 50个 =5050 追问1 ：为什么1+100=2+99=…=50+51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释. =1+2+3+…+99+100 设， 则， 2， 3，… =…= 若数列{}是等差数列， ，且，则有+= +. 追问2 ：你能用上述方法计算1+2+3+…+101吗？ 原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51=5151 你还能想到其他方法吗？ 法2：原式=（1+2+…+100）+101 =[（1+100）+（2+99）+…+（50+51）]+101 =5151 法3：原式=0+1+2+…+100+101 =（0+101）+（1+100）+…+（50+51） =101×51=5151 将不同数求和转化成相同数求和，用乘法运算代替求和运算，提高运算效率. 问题2：计算1+2+3+…+ 分析：需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当为偶数时， =(1+ )+[2+( )]+…+[+(+1)] =(1+ )+( )+…+(+ ) 个 = 当为奇数时， =[1+2+3+…+( )]+ = + = + = 对于任意正整数，都有 1+2+3+…+ = 追问1 ：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ 2(1+2+3+…+ )=， 即2= =1+2+3+…+( )+ ( )+ = + ( )+ ( )+ …+3+ 2+ 将上述两式相加，得 即 = [2+( )]+…+(+1) = …+(+1) 个 = 所以 = 1+2+3+…+( )+ ( )+ = 倒序相加法 问题3 ：倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{} 的前项和呢？ = + + = + + = + )+ (+ )+ …+ 因为 =…= 所以= + )+ + )+ …+ = = 等差数列{} 的前项和公式 等差数列{} 的前项和公式： = （1） 等式左右两边同时除以项数，得 = 前项的平均数 首项与第项的平均数 即：前项的平均数=首项与第项的平均数 追问1:能不能用和来表示呢？ 将 = 代入公式（1），可得 = = = + （2） 追问2:如果不利用公式（1）的结论，你还有其他方法得到公式（2）吗？ = + + = +)+ = + = + 三、巩固新知 例1 已知数列{} 是等差数列. （1）若=7， 101，求 （2）若=2， ，求 解：（1）因为=7， 101，根据= ，可得 ==2700 （2）因为=2， ，所以 . 根据= + ，可得 =10×× = . （3）若= ， ， 求 （3）把= ， 所以 ， 代入= + 得 =+ 整理得 解得 （舍去） 所以=12 例2 已知一个等差数列{} 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：根据公式= + ，得 解得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，那么这个数列就完全确定. 四、课堂小结 1、等差数列的前项和公式：倒序相加法. 2、转化和化归思想. 五、作业布置 课本P23：练习 第3、5题 $$