4.2.1等差数列的概念课件2-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念 1、等差数列的概念 3、等差中项 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即an+1-an=d(n≥2)，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b. 4、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 2、数列{kn+b}是等差数列，其首项为(k+b)，公差为k. 复习回顾 典型例题 3、某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围. 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an=an-1-d(n≥2). 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为-d的等差数列. 因为购进设备的价值为220万元，所以a1=220-d 于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd 根据题意，得 解这个不等式组，得19<d≤20.9 所以，d的取值范围为19<d≤20.9. 典型例题 4、已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 解：(1)设数列{bn}的公差为d′. 由题意可知，b1=a1=2，b5=a2=10，于是b5-b1=a2-a1=8 ∵b5-b1=4d′，所以4d′=8，∴d′=2. ∴bn=2+(n-1)×2=2n. 所以，数列{bn}的通项公式是bn=2n. 典型例题 4、已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 解：(2)∵b29=2×29=58， 令an=2+8(n−1)=58， 解得n=8. 所以，b29是数列{an}的第8项. 典型例题 4、已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由. 解：(2)[解法二] 数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn} 则cn=4n−3. 令4n−3=29，解得n=8. ∴b29是数列{an}的第8项. 1、等差数列的性质 探究新知 在例4第(2)问的解法中，教科书的解法是“数列{an}的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn=4n−3.”. 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质(等距离项性质)： 若{an}是等差数列，公差为d，则数列{ak+(n-1)m}：ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 请同学们进行思考并推导! 2、由等差数列衍生的新数列 探究新知 (等距离项性质)： 若{an}是等差数列，公差为d，则数列{ak+(n-1)m}：ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 1、若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){a2n}，{a2n-1}是公差为 的等差数列； (2){c＋an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (3){c·an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (4){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 的等差数列． 2、若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为 的等差数列 2d d cd 2d