动点问题-将军饮马模型2023年九年级中考数学复习

最值模型（将军饮马） 一、基本原理： ①两点之间线段最短； ②三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ③点到直线的距离垂线段最短 二、基本方法：点与直线对称（中垂线性质） 三、结论：和定点相连的不同动点有几个就做几次辅助线，辅助线的对象是定点，方法是对称. 模型一：直线型（一线两点型） 基本模型： ①同侧线段和最小（将军饮马） 模型点拨：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则的最小值为 ②异侧线段和最小 模型点拨：连接交直线于点，点为所求，的最小值为. ③同侧线段差最大 模型点拨：连接并延长交直线于点，则的最大值为. ④异侧线段差最大 模型点拨：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，则的最大值为. ⑤同侧线段差最小 模型点拨：作线段的垂直平分线交直线于点，则的最小值为. ⑥异侧线段差最小 模型点拨：作线段的垂直平分线交直线于点，则的最小值为. 【例题精讲】 1.如图，在中，的面积为12，的垂直平分线交于点，若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为_______． 2.如图，正方形中，点是边上一定点，点分别是边上的动点，若则四边形的周长最小时， . 3.如图，正方形中，点是上一点，若，则的最小值是________________． 4.如图，在矩形中，，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（ ） 5 .已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）. . . 3 6.如图，已知与，是直线上的一条动线段且(在的下方），当最小时，点的坐标为（ ）. 7.如图，点，分别是矩形的边和上的动点，连接，，，，则的最小值为（ ）. 8.如图，在锐角三角形中，，，的平分线交与点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，（ ）. 9.如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边，于点，，为边的中点，为线段上一动点，若的周长的最小值为13，则等腰三角形的面积为（　　）. 10.几何模型： 条件：如图1，是直线同旁的两个顶点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，为轴上一动点，则当的值最小时，点的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 11.如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，则的最小值是____________． 12.如图，菱形的边长为6，，是边的一个三等分点，是对角线上的动点，当 的值最小时，的长是________． 13.将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1． 【操作观察】（1）图1中，，． ①则_______； ②若，则_______； 【理解应用】（2）如图2，若，试说明：； 【拓展延伸】（3）如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接．求的最小值． 14.如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（　　） 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP的值； （2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？ （3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$