28.2.1　解直角三角形（教案）2023-—2024学年人教版数学九年级下册

28.2.1　解直角三角形 教学目标： 1.理解直角三角形中五个元素的关系.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移. 3.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心. 教学重难点： 重点:理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法. 难点:根据元素间的关系,选择适当的关系式,求出所有未知元素. 教学过程： 导入 问题: 1.一个直角三角形有几个元素? 2.它们之间有何关系? (1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间关系: sin A=,cos A= ,tan A= . 新课讲授 在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数. [师生活动] 学生独立思考后回答,教师点评. sin A==≈0.095 4. 利用计算器可得∠A≈5°28'. [设计意图] 通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生的学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题. 合作探究 在图中的Rt△ABC中,根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? sin A= ➡BC=AB·sin A=6×sin 75°, cos A= ➡AC=AB·cos A=6×cos 75°, ∠A+∠B=90°➡∠B=90°-∠A=90°-75°=15°. [课件展示] 如图所示,在直角三角形中,知道其中哪些元素,可以求出其余的元素? 已知条件 求角 求边 一个锐角A ∠B=90°-∠A 无法求解 两个锐角A,B 已知 无法求解 一条边a 无法求解 无法求解 两条边a,b tan A=, ∠B=90°-∠A c2=a2+b2 两条边a,c sin A=, ∠B=90°-∠A b2=c2-a2 两条边b,c cos A=, ∠B=90°-∠A a2=c2-b2 一条边a, 一个锐角A ∠B=90°-∠A b=,c= 或b=a tan B, c= 一条边b, 一个锐角A ∠B=90°-∠A a=b tan A,c= 或a=, c= 一条边c, 一个锐角A ∠B=90°-∠A a=c sin A,b=c sin B [归纳总结] 在直角三角形中,除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角),只要知道其中的2个元素(至少有1个是边),就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫作解直角三角形. 范例应用 例1　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形. 解:因为tan A===, 所以∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2. 例2　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位). 解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. 因为tan B=, 所以a= = ≈28.6. 因为sin B=, 所以c= = ≈34.9. 例3　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,BC=5,试求AB的长. [点拨] 在解直角三角形中,已知一边与一锐角三角函数值,一般可结合方程思想求解. 解:∠C=90°,cos A=, 所以=. 设AB=x,AC=x. 因为AB2=AC2+BC2, 所以x2=(x)2+52. 所以x1=,x2=-(舍去). 所以AB的长为. 例4　如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B= . 求:(1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值. 解:(1)因为AD是BC边上的高, 所以△ABD和△ACD都是直角三角形. 在Rt△ABD中, 因为sin B=, 所以 = . 又AD=12, 所以AB=15, 所以BD==9. 又因为BC=14, 所以CD=5. (2)在Rt△ACD中, 因为E为斜边AC的中点, 所以ED=EC=AC. 所以∠C=∠EDC. 所以tan∠EDC=tan C= = . 课堂训练 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB