3.3.2 第2课时 抛物线简单几何性质的运用（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

第2课时　抛物线简单几何性质的运用 [见学生用书P96] 1．若直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切，则实数b的值为(　A　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 联立化为x2－4x－4b＝0. ∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.故选A. 2．过抛物线y2＝4x焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝4，则|PQ|的值为(　C　) A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】 由抛物线方程为y2＝4x，可得2p＝4，即＝1， ∴抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 根据抛物线的定义，得 |PF|＝x1＋＝x1＋1，|QF|＝x2＋＝x2＋1， ∴|PF|＋|QF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2. 又∵PQ经过焦点F，且x1＋x2＝4， ∴|PQ|＝|PF|＋|QF|＝(x1＋x2)＋2＝4＋2＝6. 故选C. 3．在平面直角坐标系中，直线y＝x－3上存在某点A与抛物线y＝x2＋x－2上某点B关于y轴对称，则点B的坐标为(　A　) A．(－1，－2) B．(1，0) C．(1，－2) D．(－2，0) 【解析】 直线y＝x－3关于y轴对称的直线为 y＝－x－3， 由解得 故点B坐标为(－1，－2)．故选A. 4．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与y轴相交于点A.若△OAF(点O为坐标原点)的面积为1，则p＝__2__． 【解析】 ∵斜率为2的直线l过抛物线y2＝2px的焦点F，且与y轴相交于点A， ∴AO＝2OF，且OF＝， ∴△OAF的面积为·p·＝1，解得p＝2. 5．一条直线过点，且与抛物线y2＝x相交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于____． 【解析】 ∵直线AB过点，抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－， ∴直线AB为过焦点的直线． ∴AB中点到准线的距离＝＝2.　 ∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 6．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　B　) A. B. C．2 D．1 【解析】 设抛物线上的任意一点M(m，m2)， M到直线x－y－2＝0的距离d＝＝， 由二次函数的性质可知当m＝时，最小距离d＝.故选B. 7．已知抛物线C：y＝ax2，若过点A(1，2)且与曲线C有且仅有一个交点的直线有三条，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪ C．(－∞，0)∪(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】 由题意得点A(1，2)在抛物线开口的外侧， 此时可过点A作两条切线与抛物线相切， 且过点A作垂直于x轴的直线与抛物线有且仅有一个交点，易知这三条直线符合题意， a<0时，显然存在符合题意的这三条直线，即a<0符合题意； 当a>0时，点A(1，2)在抛物线开口的外侧，则有2<a×12，即a>2. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 故选D. 8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与C相交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　C　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 【解析】 由y2＝4x得F(1，0)， 设AB所在直线方程为y＝k(x－1)， 联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解方程得x1＝＋，x2＝－， 再由|AF|＝3|BF|， 得x1＋1＝3(x2＋1)，即x1＝3x2＋2， ∴＋＝3＋2， 解得k＝±， ∴直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)． 故选C. 9．若A，B为抛物线y2＝4x上两点，O为坐标原点，OA⊥OB，则|AB|的最小值为(　C　) A．4 B．2 C．8 D．8 【解析】 设直线AB的方程为x＝ty＋m， 将其代入y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0， ∴Δ＝16t2＋16m>0，即t2＋m>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， ∵OA⊥OB，∴·＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0. ∴·＋y1y2＝0，即m2－4m＝0. ∵m≠0，∴m＝4. ∴|AB|＝ ＝·＝·≥·＝8. 当且仅当t＝0时取等号．故选C. 10．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x，则其准线方程为__x＝－2__，过抛物线C焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点．若＝3，则＝__6__． 第10题图 【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，F(2，0)，|AF|