1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [见学生用书P26] 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于　(　B　) A．120° B．30° C．60° D．60°或30° 【解析】 设直线l与平面α所成的角为θ，则θ＝120°－90°＝30°.故选B. 2．如图所示，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值为　(　D　) A. B．－ C．－ D. 　　 第2题图 第2题答图 【解析】 如答图所示，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系， 设AC＝BC＝AA′＝2，则C(0，0，0)，E(0，2，1)，C′(0，0，2)，A(2，0，0)， ＝(0，2，1)，＝(2，0，－2)， 设异面直线CE与C′A所成角为θ， 则cos θ＝＝＝.∴异面直线CE与C′A所成角的余弦值为.故选D. 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 以A为原点，建立如答图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E ，D(0，1，0)， 　第3题答图 ∴＝(0，1，－1)， ＝. 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， ∴ ∴解得 ∴n1＝(1，2，2)． ∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝， 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B. 4．若直线l的一个方向向量a＝(－2，－3，2)，直线n的一个方向向量b＝(－1，2，－)，则l与n的夹角为____． 【解析】 cos〈a，b〉＝＝－，所以l与n的夹角为. 5．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD 所成角的余弦值是____．　 【解析】 如答图所示，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 　第5题答图 ∵正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，高为4， ∴B(2，2，0)，D1(0，0，4)，A(2，0，0)，D(0，0，0)， (－2，－2，4)，(－2，0，0)， 设异面直线BD1与AD所成角为θ， 则cos θ＝＝＝. ∴异面直线BD1与AD所成角的余弦值为. 6．若直线a与平面α所成的角为θ，直线a的方向向量为m，平面α的法向量为n，则sinθ的值为(　B　) A. B. C. D．以上都不对 7．如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为(　C　) A. B. C. D. 第7题图 第7题答图 【解析】 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如答图所示的空间直角坐标系Axyz. 设AD＝2，则B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，2，0)，则＝(－2，2，0)，＝(1，2，－1)，cos〈，〉＝＝. 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选C. 8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为(　C　) 第8题图 A. B. C. D. 【解析】 设CA＝CC1＝2CB＝2，∴B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)．设异面直线BC1与直线AB1所成角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.故选C. 9．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB和BB1的中点．当二面角C1­AA1­B为45°时，直线EF和BC1所成的角为(　B　) A．45° B．60° C．90° D．120° 第9题图　 　第9题答图 【解析】 由题意得，二面角C1­AA1­B为45°， 即∠CAB＝45°，则BC＝BA＝2， 如答图所示建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(2，0，2)，E(0，1，0)， F(0，0，1)， ∴＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，设直线EF和BC1所成角为θ， ∴cosθ＝＝，∴θ＝60°，故选B. 10．在空间直角坐标系中，某个锐二面角的两个半平面的法向量分别为(1，2，3)和(－2，3，－1)，则该二面角的余弦值为___． 【解析】