1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [见学生用书P24] 1．已知向量n＝(2，0，1)为平面α的一个法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点 P(1，2，－2)到平面α的距离为(　A　) A. B. C．2 D. 【解析】 ∵＝(－2，0，3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝. ∴点P(1，2，－2)到平面α的距离为.故选A. 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x的值为(　C　) A．－1 B．－11 C．－1或－11 D．－21 【解析】 ＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝， 即＝，解得x＝－1或－11.故选C.　 3．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为(　A　) 第3题图 第3题答图 A.a B.a C.a D.a 【解析】 如答图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由于M是AA1的中点，故M ，且A1(a，0，a)，B(a，a，0)，＝，设n＝(x，y，z)是平面BDM的法向量，则取n＝(1，－1，－2)，∴点A1到平面BDM的距离d＝＝＝a.故选A. 4．已知点A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为______． 【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ ∴可取n＝，又＝(－7，－7，7)． ∴点D到平面ABC的距离d＝＝. 5．已知在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点，则点A1到平面DBEF的距离为__1__． 【解析】 如答图，建立空间直角坐标系，＝(1，1，0)，＝，＝(1，0，1)．设平面DBEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·＝0，n·＝0，即x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝，∴n＝，则点A1到平面DBEF的距离d＝＝1. 第5题答图 6．若四面体ABCD的顶点坐标分别为A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，则点B到平面ACD的距离为(　A　) A. B. C. D. 【解析】 由题意得＝(2，2，0)，＝(1，0，1)，＝(0，0，2)，设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1，则n＝(1，－1，－1)， ∴＝＝，即点B到平面ACD的距离是.故选A. 7．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)．设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　D　) A.λ B. C.λ D. 第7题图 　第7题答图 【解析】 如答图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， ＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)， 设平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，0，2)， ∴点M到平面D1EF的距离为 d＝＝＝，N为EM中点， ∴N到该平面的距离为，故选D. 8．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为(　B　) 第8题图 A. B. C. D．1 【解析】 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系，∴B(0，4，0)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，∴＝(－2，2，0)，＝(－2，－4，2)，＝(2，0，0)，∴平面EFG的一个法向量为m＝(1，1，3)，∴d＝＝.故选B. 9．在四棱锥P­ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h的值为(　B　) A．1　　 B．2 C．13　 D．26 【解析】 ∵＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)∴∴ ∴n＝(3，12，4)， 则根据在n＝(3，12，4)上投影的绝对值可得到锥体的高度为h＝＝2.故选B. 10．在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面ABC外一点，且点A(1，1，0)，B(0，2，3)．若平面ABC的一个法向量n＝(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为____