1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [见学生用书P18] 1．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)．若AB⊥α，则(　A　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 【解析】 ∵AB⊥α，∴∥n，由＝＝，得x＝6，y＝2.故选A. 2．在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，给出下列结论： 第2题图 ①直线DD1 的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)． 其中正确的个数是(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 DD1∥AA1，＝(0，0，1)，①正确；BC1∥AD1，＝(0，1，1)，②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，③正确；点C1的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，④错误．故选C. 3．若平面α经过点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则其法向量可以是(　D　) A．(1，0，1) B．(1，0，－1) C．(0，1，1) D．(－1，1，0) 【解析】 设平面α的法向量为n，∴n·＝0，n·＝0，D符合题意．故选D. 4．已知平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为__5__． 【解析】 ∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直， ∴u·v＝0即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5. 5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为__(2，－4，－1)或(－2，4，1)__． 【解析】 由A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)，可得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)， 设n＝(x，y，z)，根据题意可得 ∴ 解得或 ∴n＝(2，－4，－1)或n＝(－2，4，1)． 6．下列说法错误的是(　D　) A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量 7．已知向量a＝(－2，2，0)，b＝(－2，0，2)．若n⊥a且n⊥b，则向量n可以是(　D　) A．(1，1，0) B．(0，1，1) C．(1，0，1) D．(1，1，1) 【解析】 由题意，设向量n＝(x，y，z)， ∵n⊥a且n⊥b， ∴即 令z＝1，可得x＝1，y＝1， ∴其中一个向量n＝(1，1，1)．故选D. 8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　B　) 第8题图 A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) 【解析】 设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)， ∴＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)， 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量， 则 取y＝1，得x＝－4，z＝－2， ∴n＝(－4，1，－2)是平面AEF的一个法向量．故选B. 　9．在三棱锥P­ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2.如图所示，建立空间直角坐标系，则下列向量中，能作为平面PAB的法向量的是(　A　) 第9题图 A. B．(1，，1) C．(1，1，1) D．(2，－2，1) 【解析】 ∵＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，1)， 由得解得 ∴n＝(2，2，1)． 又∵＝n，∴平面PAB的一个法向量为.故选A. 10．给出下列命题： ①若a，b为共面向量，则a，b所在的直线平行； ②若a，b所在直线是异面直线，则a，b一定不共面； ③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的； ④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量． 其中正确命题的个数是__2__． 【解析】 若a，b为共面向量，则a，b所在的直线不一定平行，①错误；若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b可以平移到一个平面内，②错误；同一平面的法向量不唯一，但它们都与平面垂直，所以平行，③正确；平行于一个平面的向量，与平面内的某一向量平行，所以垂直于这个平面的法向量，④正确，综上所述，正确命题的