1.1.2 空间向量的数量积运算（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 [见学生用书P4] 1．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝3；②·(－)＝0；③ 与的夹角为90°.其中正确命题的个数是 (　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 与的夹角为120°，③错误．故选C.　 2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则在向量，，，，，中，夹角为90°的向量共有(　B　) 　第2题图 A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【解析】 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC， 又∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB. 由此可知与，与，与，与，与夹角都为90°，共5对．故选B. 3．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都为，则对角线AC1的长为　(　D　) 第3题图 A. B．2 C. D. 【解析】 ||＝＝＝.故选D. 4．已知向量a，b，c两两的夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝___． 【解析】 ∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c＝1＋4＋1－4cos 60°－4cos 60°＋2cos 60°＝3，∴|a－2b＋c|＝. 5．如图所示，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3.若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于____． 　第5题图 【解析】 由题意可得2＝9＝(－)2 ＝2＋2－2· ＝9＋4－2·， ∴·＝2. 由·＋·＝7，可得 ·(＋)＋·(＋)＝2＋·＋·＋· ＝4＋·(－)＋2＋· ＝6＋·(－)＝6＋·. ∴·＝2，即4×3×cos〈，〉＝2， ∴cos〈，〉＝. 6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　D　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【解析】 ∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4， ∴a＋b＝－c， 两边平方得a2＋b2＋2a·b＝c2， ∴cos 〈a，b〉＝，故选D. 7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若向量，，两两之间的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于　(　A　) A．5 B．6 C．4 D．8 【解析】 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有＝＋＋＝＋＋，∴||＝|＋＋|，∴||2＝|＋＋|2，即||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＝25， ∴||＝5.故选A. 8．已知空间四面体D­ABC的每条棱长都等于1，E是AB的中点，则·等于(　B　) A. B．－ C. D．－ 【解析】 由题意可得·＝－·＝－·＋· ＝ －＝－.故选B. 9．如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离为(　D　) 　第9题图 A. B. C．1 D. 【解析】 ∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－. ∴||＝.故选D. 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出下列四个命题： ①四边形ABC1D1的面积为||·||； ②向量与的夹角为60°； ③(＋＋)2＝3()2； ④·(－)＝0. 其中正确的命题是__①③④__(填序号)． 【解析】 由AB⊥平面BB1CC1，得AB⊥BC1，∴四边形ABC1D1的面积为||· ||，①正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，②错误；由向量的加法可以得到＋＋＝，∵2＝3()2，∴(＋＋)2＝3()2，③正确；－＝，∵D1B1⊥平面A1C1CA，∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，④正确．综上所述，正确的命题是①③④.　 11．在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长和侧棱长都为2，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则·的值为__4__． 【解析】 根据题意，画出空间几何体如答图： 　第11题答图 ＝a，＝b，＝c， ∴＝a＋b，＝－＝a＋c－b. ∴· ＝(a＋b)(a＋c－b) ＝a2＋a·c＋b·c－b2 ＝|a|2＋|a|·|c|cos ∠A1AC＋|b|·|c|cos ∠BAC－|b|2 ＝22＋2×2cos 60°＋2×2cos 60°－22＝4. 12．已知P为棱长等于2的正方体ABCD­A1B1C1