14.1.3 反证法课件2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

14.3反证法 情境引入 学习目标 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法 证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点) 2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点）. 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？ c a b A C B 解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形. 复习引入 反证法 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. c a b A C B 探究： （1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 问题探究 4 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 探究发现 像这样的证明方法叫“反证法”. 路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 6 　　这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 所以，李子是苦的 7 例2 写出下列各结论的反面： （1）a∥b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b. a<0 b是0或负数 a不垂直于b a不平行于b 万事开头难，让我们走好第一步！ 例1 在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　（　　　　　 ） 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B ＝ ∠C AB＝AC 等角对等边 已知AB≠AC ∠B ≠ ∠ C 小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A', 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一 条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立. 　 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线a，b. 求证：a与b只有一个交点. a b A ● A' ● 分析：想从已知条件“两条相交直线a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x成立 对任何x 不成立 7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.   不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某个x不成立 存在某个x成立 不等于 某个 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　　　　　　　　　， 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 三角形的内角和为180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 证明真命题 的方法 直接证法 间接证法 反证法 13 反证法 概念 课堂小结 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 总结 1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论 2、难点提示: