轴对称几何模型-将军饮马模型-“一点两线”模型精讲2023-2024学年人教版 数学八年级上册

轴对称——将军饮马 ——“一点两线”模型 知识点 条件 结论 点P是∠AOB（定角）内部一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小 作点P关于OA，OB的对称点P′，P′′，连接P′P′′，分别交OA，OB于点M，N，此时PMN的周长最小，最小值为线段P′P′′的长 【解题原理】找到一个定角，作角内动点关于角两条射线的对称点，将三角形周长转化为在一条线段上，根据两点之间线段最短进行计算 证明：由对称可知，PM=P′M，PN=P′′N ∴PM+PN+MN=P′M+P′′N+MN≥P′M′+M′N′+P′′N′=P′P′′ ∴当点P′，M′，N′，P′′四点共线时，△PMN的周长最小，最小值为线段P′P′′的长. 例题1 如图，∠ACB=30°，点P是∠ACB内部一点，且CP=6，G，H分别是射线CA和CB上的动点，连接PG，PH，GH，则△PGH周长的最小值为________. 答案解析 证明： 根据“一点两线”模型作解图，则P′P′′的长即为△PGH周长的最小值，连接CP′，CP′′. ∵∠ACB=30°，由对称性可知， CP=CP′=CP′′=，∠P′CP′′=60° ∴△P′CP′′为等边三角形 【一个角是60°的等腰三角形是等边三角形】 ∴P′P′′=6 即△PGH周长的最小值为6 例题2 ∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 _______. 答案解析 证明：由对称可得，OP=OP′=OP′′=5 ∠P′OP′′=120° ∠OP′P′′=30° 易得P′P′′=5√3 即△PMN周长的最小值是5√3 例题3 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，点P为△ABC内一定点，点M、N分别在AB、BC上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数为 ( ) A.120° B.90° C.80° D.60° 答案解析 证明： 分别作点P关于AB，BC的对称点P1，P2，交BA于点M，交BC于点N，连接PM，PN，PP1，PP2，PB，P1B，P2B，P1P2 由对称可得，P1B=PB=P2B ∠P1BM=∠PBM ∠P2BN=∠PBN ∴∠P1BP2=∠P1BM+∠PBM+∠P2BN+∠PBN=2∠MBN=100° ∴∠BP1M+BP2N=80° 【三角形内角和】 易得∠BPM=∠BP1M ∠BPN=∠BP2N ∴∠MPN=∠BPM+∠BPN=∠BP1M+BP2N=80° 例题4 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，点E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF的周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是 ( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 答案解析 证明： 分别作点A关于BC，DC的对称点A′，A′′，交BC于点E，交DC于点F 由对称可得，∠A′=∠BAE ∠A′′=∠FAD ∵∠ABC=∠ADC=90° ∴点A，B，A′三点共线， 点A，D，A′′三点共线 ∴∠AEF=∠A′+∠BAE=2∠A′ ∠AFE=∠A′′+∠DAF=2∠A′′ 【三角形的外角性质】 ∴∠AEF+∠AFE=2∠A′+2∠A′′ ∵∠BAD=110° ∴∠A′+∠A′′=70° 【三角形内角和】 ∴∠AEF+∠AFE=140° 例题5 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=AD=3，点E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF的周长最小时，求△AEF的面积. 答案解析 证明： 分别作点A关于BC，DC的对称点A′，A′′，交BC于点E，交DC于点F 由对称可得，AB=A′B=3 AD=A′′D=3 ∵∠ABC=∠ADC=90° ∴点A，B，A′三点共线， 点A，D，A′′三点共线 ∴AA′=AA′′=6 ∵∠BAD=120° ∴∠A′=∠A′′=30° 由对称可得，∠A′=∠BAE=30° ∠A′′=∠FA