精品解析：上海市行知中学2023-2024学年高一上学期第二次质量检测（12月）数学试题

上海市行知中学2023学年第一学期第二次质量检测 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 2023.12 一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，则_________． 2. 函数的零点为______________. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则________. 4. 若，则是第_______象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”） 5. 函数，若，则实数的值为_______. 6. 函数在区间上是严格减函数，则实数取值范围是_____． 7. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 8. 如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米. 则矩形的面积关于的函数解析式为_________. 9. 已知函数在上存在最大值或最小值，则实数的取值范围是________ 10. 已知函数，当时，，则最大值是________． 11. 已知定义在上的奇函数在满足：当时，.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是______. 12. 设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________ 二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知，以下不等关系不一定成立的是（ ） A. B. C D. 14. 在用二分法求函数零点近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，给出以下三个命题正确的个数为（ ） ①存在实数a，函数无最小值； ②对任意实数a，函数都有零点； ③对任意，都存在实数m，使方程有3个不同的实根． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. 已知幂函数，且图像不过原点. （1）求出的表达式，并写出它的单调区间； （2）记，判断函数的奇偶性，并证明. 18. 已知函数. （1）若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式； （2）用定义法证明：函数在定义域上是严格增函数. 19. 为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.我市工业园区某工厂污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理.根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为.若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用. （1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度； （2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为（毫克/立方米），其中，求的表达式和浓度的最小值. 20. 已知函数. （1）若有零点，求实数的取值范围； （2）若，函数的值域为，且，求的取值范围； （3）当时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①； ②； （2）若是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市行知中学2023学年第一学期第二次质量检测 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 2023.12 一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 2. 函数的零点为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】解方程，即可得出答案. 【详解】由，得，