4.5.1函数的零点与方程的解课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解 问题1　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系. 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数图象 方程的根 函数的图象与x轴交点 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0),(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标 请填写下表： PART 1 函数的零点 定义：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0的实根 函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标 零点 不是点 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 注意点： 例1 √ √ 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 求下列函数的零点： 跟踪训练1 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. (2)f(x)＝(lg x)2－lg x. 令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10， ∴函数f(x)的零点是1,10. y=ax2+bx+c(a≠0) 1.△>0，则二次函数有_____个零点 2.△=0，则二次函数有_____个零点 3.△<0，则二次函数有_____个零点 两 一 零 PART 2 二次函数的零点 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识梳理 连续不断 f(a)f(b)<0 至少 f(c)＝0 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且 . (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，__________是函数有零点的充分不必要条件. (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. 注意点： f(a)f(b)<0 f(a)·f(b)<0 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 思考1 ？ 不能 a b 在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？ 思考2 ？ 多个零点 a b a b 唯一零点 f(x)在(a，b)内为单调函数 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？ 思考3 ？ a b 不一定 若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点吗？ 思考4 ？ a b 不一定 例2 (多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是 A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 √ √ √ 由题知f(0)f(1)<0， 所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0,1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有