26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质（教学课件）数学华东师大版九年级下册

1. 二次函数 y = ax2 的图象与性质 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2023-2024学年华师版九下数学教学课件 1．会用描点法画出y＝ax2的图象，理解抛物线的念． 2．掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用． 目标导航 目标导航 回顾 上一节所提出的两个问题,都归结为有关二次函数的问题.为了解决这类问题,需要研究二次函数的性质.在研究一次函数时,曾借助图象了解了一次函数的性质.对二次函数的研究,我们也从图象入手. 导入新课 导入新课 我们知道,一次函数的图象是一条直线. 那么，二次函数的图象是什么? 它有什么特点? 反映了二次函数的哪些性质? 让我们先来研究最简单的二次函数 y = ax2的图象与性质. 知识点1 二次函数y=ax2的图象 导入新课 导入新课 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 3.连线：如图，再用光滑曲线顺次连结各点，就得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 2.描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)； -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下： x y 这样的曲线通常把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y 轴 对称，y 轴就是它的 对称轴. 抛物线与它的对称 轴的交点叫做抛物线 的顶点 变式：画出函数 y = -x2 的图象. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = -x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 (1)描点法所画的函数图象只是整个图象的一部分,是近似.因为x可取一切实数,所以图象在对称轴两侧是无限延伸的. (2)一般情况下,描出的点越多,图象越精确. (3)二次函数的图象必须是平滑的,不能出现折线形状,特别是顶点处,不能画成尖的. 归纳总结 O x y O x y 二次函数 y = ax2 的图象特征： 1. 顶点都在原点；2. 图象关于 y 轴对称； 3. 当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向下. 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 知识点2 二次函数y=ax2的性质 对于抛物线 y = ax2 (a＞0)： 当 x＞0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而增大； 当 x＜0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而减小. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x 对于抛物线 y = ax2 (a＜0)： 当 x＞0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而减小； 当 x＜0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而增大. 解：分别填表，再画出它们的图象，如图所示. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象. 思考1：从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 变式：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 思考2 从抛物线