26.1 二次函数（教学课件）数学华东师大版九年级下册

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数 2023-2024学年华师版九下数学教学课件 1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式．（重点） 2．会利用二次函数的概念解决问题．（重点） 3．列二次函数关系式解决实际问题．（难点） 目标导航 目标导航 问题1 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ A D B C 我们先列举一些不同的围法,观察矩形花圃的面积是怎样变化的.如图,设围成的矩形花圃为ABCD,靠墙的一边为AD,垂直于墙面的两边分别为AB和DC.给出矩形一边AB的长的一些值(0<AB<10)可以求出BC 的长，从而可得矩形的面积.试将计算结果填入下表的空白处: 知识点1 二次函数的定义 导入新课 导入新课 我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式. （0＜x＜10） 即 （0＜x＜10） AB长 x (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长 12 面积y(m2) 48 18 16 14 10 8 6 4 2 18 32 42 50 48 42 32 18 问题2 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10元出售，一天可售出 100 件.该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大? 分析：销售利润 = (售价-进价)×销售量. 根据题意，得 想一想，为什么要限定 ？ 观察所得的两个函数关系式,它们有什么共同特点? 探索 （0＜x＜10） 等号右边都有二次项. 二次函数的定义： 概念 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数. 一般形式： 任何一个二次函数都可以化成y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的形式,因此将其称为二次函数的一般形式.其中ax²称为二次项,bx称为一次项,c称为常数项, a是二次项系数,b是一次项系数. 二次函数的三个特征: 概念 (1)函数关系式中关于自变量的式子是整式; (2)自变量的最高次数是2; (3)二次项系数不为0. 注意： 二次函数可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量) ① y = ax2 + bx + c； ② y = 7 - 3x²； ③ y = x2； ④ ； ⑤ y = x3 +x2 -13； ⑥ y = (x+5)² - x². 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 10x + 25 讲授新课 判断一个函数是否为二次函数的方法 看形式 化 简 判 断 看关于自变量的式子是否为整式 将关于自变量的式子化简 根据对系数、次数的要求判断 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 知识点2 二次函数的定义 对于自变量 x 的每一个值, y 都有唯一的值与之对应,这时相应的 y 值就是函数值 注意二次函数中自变量的每个值,都有唯一的函数值与之对应反之却不一定.例如,函数y = x² + 2x + 1 ,当x=0时,y=1,而当y=1时,由 x² + 2x + 1=1 可知x的值有两个,即x1=0,x2=-2 例2 已知二次函数y＝3(x－1)2＋2. (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a、b、c的值； (2)当x＝6时，求y的值； (3)当y＝77时，求x的值． (1)解：y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5， 其中a＝3，b＝－6，c＝5. (2)解：当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.　 (3)当y＝77时，3(x－1)2＋2＝77，解得x1＝6或x2＝－4. 此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数关系式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值. 归纳总结 知识点3 二次函数定义的应用 例3 已知函数y＝(a＋3)xa²＋a－4＋(a＋2)x＋3. (1)当a为何值时，y为x的二次函数？ 解：根据题意，得a＋3≠0且a2＋a－4＝2， 解得a＝2. 即当a取2时，y是