4.1数列的前n项和及斐波那契数列课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的前n项和及斐波那契数列 问题1：什么是数列的前n项和公式？ 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题． 问题2：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 数列的前n项和 数列{an}从第1项a1到第n项an的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn =a1+a2+...+an 数列{an}的前n项和Sn与序号n之间的关系式叫做数列的前n项和公式. Sn =a1+a2+...+an－1+an Sn－1 =a1+a2+...+an－1(n≥2) an=Sn－Sn－1 (n≥2) 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. P7-思考:已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+n, 求数列{an}的通项公式. [练习1]已知数列{an}的前n项和公式为Sn =﹣2n2+1, 求数列{an}的通项公式. 分段求解, 检验结果能否统一形式 阅读与思考 斐波那契数列 1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci)．他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 斐波那契在《算盘书》中的兔子繁殖问题(兔子数单位：对) 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子? 时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 5 8 13 8 8 13 21 9 13 21 34 10 21 34 55 11 34 55 89 12 55 89 144 … … … … 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…． 你发现这个数列的规律了吗？ 黄金分割点 1 1 1 1 斐波那契数列有很多有趣的性质． 例如，斐波那契数列满足等式， 我们可以用图形（图1）来表示这个等式． 图1中小正方形的边长等于斐波那契数1，1，2，3，5，8，…． 若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积，，，…． 如图1所示，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧， 就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线． 如果我们在图1 上不断增加边长是斐波那契数的正方形， 那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸， 而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”． 绘制斐波那契螺旋线，验证课本P11的结论 {an}: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… +…+ 随着边长的增加，螺旋线的形状越来越接近“黄金比例螺旋”. 前n个小正方形的面积和为相邻两个斐波那契数an与an+1之积 (n≥2) 这些规律的存在绝非偶然，对生命科学和大自然的探索是无止境的，带着数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界 向日葵花盘上的螺旋线条， 顺时针的螺旋线：21条； 逆时针的螺旋线：34条。 松果上的螺旋线条， 顺时针的螺旋线：8条； 逆时针的螺旋线：13条。 更加有趣的是，人们在自然界中发现了许多斐波那契数列． 例如，一棵树在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝．每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构成了斐波那契数列．又如，图2中向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，从内往外看，逆时针方向的螺旋有13条， 顺时针方向的有21条， 恰为斐波那契数列的相邻两项． 蒲公英的种子和松塔的鳞片的排列 也呈现出类似的规律． 由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于1963年创办《斐波那契季刊》，专门发表关于这个数列的研究论文． 有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料，进一步了解盘研究斐波那契数列． 例1 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝8n＋5. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 当n＝1时，a1＝4×1-5＝－1，符合上式．所以an＝4n－5. (2)当n＝1时，a1＝S1＝13， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝8n＋5－(