第15章 轴对称图形与等腰三角形（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1.轴对称与轴对称图形的异同点： (1)构成：两个图象关于对称轴（2＋1）是对称的（adj）, 轴对称图形(1)是n； (2)图象: A l A B C B C △ABC与△关于直线l是对称的 等腰三角形ABC是一个轴对称图形 （常见的有角、线段、长方形等） 【例1】（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）下列银行标志，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.线段的垂直平分线（中垂线）的定义： (1)画法（尺规作图,理由：先SSS后SAS）； (2)性质定理：线段垂直平分线的点到线段两端的距离相等（理由：先SSS后SAS）； (3)判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（理由：先SSS后SAS）. 【例2】（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)如图1，四边形中，，，画出四边形的对称轴； (2)如图2，四边形中，，，画出边的垂直平分线； (3)如图3，在（2）的条件下，直线为边的垂直平分线，M为平面上的任意一点，请在图3中画出M点关于直线的对称点N． 3. 等腰三角形： 有条边相等的三角形（即AB＝AC 等腰三角形ABC）. (1)性质：①两底角相等；②两腰相等；③轴对称图形；④顶角三线合一； (2)判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两边相等的三角形是等腰三角形； 【例3】（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 4. 等边三角形： 三边都相等的三角形（即AB＝BC＝CA 等边三角形ABC）. (1)性质：①三边相等；②三角相等；③轴对称图形（有3条对称轴）； (2)判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角为60°的等腰三角形； (3)（直角三角形的一个）定理：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半； (4)面积公式：S＝. 【例4】（2023上·河南南阳·八年级统考期中）如图，在中，为的中点，过点分别作于点于点，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 5.角的平分线： (1)画法（尺规作图，理由：SSS）； (2)性质性质：角平分线上的点到角的两边距离相等（理由：AAS）； (3)判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上（理由：HL）. 【例5】（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）已知：如图，中，，，为中点，为上一点，于． (1)尺规作图：作的角平分线交于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作的图形中，求证：．补全下列证明过程： 证明：，， ， 平分， （_______________）， __________， ， ， ，， __________， ≌（__________） ． 6.过已知点作已知直线的垂线(尺规作图)： (1)点在线外； (2)点在线上 【例6】（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．    （2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    专题一 数学方法——添加辅助线 1．（2023上·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图1，点满足，点D是线段上一动点，过点A作于点C，延长交y轴于点E，连．    (1)点A的坐标是 ；B的坐标是 ； (2)求的度数； (3)如图2，过点D作，交的垂线于点F，当时，求的长度． 专题二 主要数学思想 1. 方程思想 2．（2023上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：过点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，线段的垂直平分线交于点，求点的坐标； (3)若点在线段上，且，求点的坐标． 2. 分类讨论思想 3．（2023上·