第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1. 三角形的定义 元素、表示、分类(边角都是两类)、性质等. 【例1】（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式】（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．   B   C．   D．   2. 边的性质 两角之和大于第三边，两角之差小于第三边. (1)三角形的存在：＋＞； (2)给定a,b求第三边x的范围：∣a－b∣＜x＜∣a＋b∣ (3)等腰三角形：2腰＞底 【例2】（2023上·山东德州·八年级统考期中）用木棉钉成一个三角架，两根小棒分别是和，第三根小捧可取（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）已知一个三角形的两边长为 1，4，则第三边可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.等腰三角形（以底或以角） 易产生双解，几何体不给图也易产生双解. 【例3】已知BD是等腰三角形ABC一腰上的高，且，求的顶角度数．（画出符合题意的图形，直接写出答案即可） 【变式】（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）若的三边，，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 4.角的性质 三角形的内角和为180°，外角和为360°（性质定理）. (1)RT△的两锐角互余（性质定理）； (2)两锐角互余的三角形是RT△（判定定理）； (3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角（性质定理）； (4) 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个个内角（性质定理）； 【例4】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）角是 图形，对称轴是角的平分线所在的直线． 5.直角三角形的判定方法 (1)求出最大角为90°； (2)两角之和等于第三个角（可以是比例）； (3)两角之差等于第三个角（可以是比例）； 【例5】（2023上·湖南株洲·八年级校联考期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ． 【变式】（2022上·广东东莞·八年级东莞市虎门第四中学校考期中）如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：； (2)若，求的值 6.三角形特殊线段 三角形特殊线段 项目 结论 类别 图形 条数 交点 作用 特殊角 角平分线 三内 内部 (内心I) 角平分线 三段论 1.二分角 (1) (1) (1) 中线 三内 内部 （重心G） 1.中线三段论 2.等面积 3.等积变换 高 线 锐角三角形 三内 内部 （垂心H） 1.直角（90°） 2.高 3.等积变换 直角三角形 两边 一内 直角顶点 2.高平角 ＝ 钝角三角形 两外 一内 外部 （靠钝） 3.高高角 ＝180°－∠A 【例6】（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的有（    ）个． ①的面积的面积；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在锐角中，，分别是的高和角平分线，是直线（不与重合）上任意一点，且于．    (1)如图①，当点与点重合时，请你写出图中与、之间的数量关系吗?并说明理由． (2)如图②，当点在线段上时，若，则的度数为 ． 7.命题的定义 (1)分类：公理（基本事实）、定理、推理、（习题的结论）； (2)元素：条件（p）与结论（q）； (3)互逆. 【例7】（2023上·贵州铜仁·八年级校联考期中）下列语句中，是命题的个数为（    ） ①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（2023上·湖南常德·八年级统考期中）下列语句是命题的有（    ） ①三角形的内角和大于；    ②两点之间，线段最短； ③杭州亚运会中国获得的金牌最多吗？    ④相等的角是对顶角； ⑤安乡酱卤不夜城国庆节期间真热阔啊！    ⑥如果，求 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列语句中，属于命题的是（    ） A． 作 B．两直线相交有几个交点？ C．画线段cm D．相等的角是对顶角 【变式3】下列语句不是命题的是（    ） A．两