5.3.2 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第二册数学同步课件及教参（人教A版2019）

第3课时　利用导数解决与函数相关的问题 [见学生用书P58] 1．设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直，则实数b的值为(　B　) A. B．－ C. D．－ 【解析】 ∵f(x)＝x3＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋b.由题意得f′＝0，即＋b＝0，解得b＝－.故选B. 2．已知a∈R，函数f(x)＝ex－1－ax的图象与x轴相切于点P(x0，0)，则实数a，x0的值分别为(　A　) A．1，1 B．－1，1 C．1，－1 D．－1，－1 【解析】 ∵f(x)＝ex－1－ax， ∴f′(x)＝ex－1－a. ∵f(x)的图象与x轴相切于点P(x0，0)， ∴即 解得x0＝1，a＝1， 即实数a，x0的值分别为1，1.故选A. 3．若不等式ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围是(　A　) A．k≤1 B．k≥1 C．k≤－1 D．k≥－1 【解析】 由ex≥k＋x，得k≤ex－x. 令f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1. 当f′(x)＝0时，解得x＝0， 易得当f′(x)<0时，x<0，当f′(x)>0时，x>0， ∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝1， ∴k的取值范围是k≤1.故选A. 4．已知函数f(x)＝x－1－aln x(a>0)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则f(x)在[1，e2]上的最大值与最小值的和为__e2－3__. 【解析】 ∵f(x)＝x－1－aln x， ∴f′(x)＝，且f(1)＝0. 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 由题意得f(a)＝a－1－aln a＝0，解得a＝1， ∴f(x)＝x－1－ln x， ∴函数f(x)在[1，e2]上单调递增， ∴f(x)min＋f(x)max＝f(1)＋f(e2)＝e2－3. 5．若关于x的不等式ex－ax≥0(e为自然对数的底数)对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是__(－∞，e]__． 【解析】 当x＝0时，不等式可化为1≥0恒成立，此时a∈R； 当x∈(0，2]时， 由已知得a≤对x∈(0，2]恒成立． 令f(x)＝，x∈(0，2]， 则f′(x)＝，x∈(0，2]， 令f′(x)>0，解得1<x≤2， 令f′(x)<0，解得0<x<1，　 ∴f(x)在(1，2]上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝e， ∴a≤e. 综上，a的取值范围是(－∞，e]． 6．设函数f(x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为(　B　) A.e B．e C.e D．e 【解析】 ∵函数f(x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点， ∴方程a＝，x∈[0，π]有且仅有一个实数根． 令g(x)＝， 则g′(x)＝＝， 当0<x<时，g′(x)>0， 当<x<π时，g′(x)<0， ∴g(x)在上是增函数，在上是减函数， 当x＝时，g(x)取得最大值g＝e. 又∵g(0)＝g(π)＝0，∴a＝e.故选B. 7．已知函数f(x)＝＋ln x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是(　A　) A．(－∞，0]∪{1} B．[0，1] C．(－∞，0]∪{2} D．[0，2] 【解析】 由题意得＋ln x－1＝0有且仅有一个根，即a＝x－xln x有且仅有一个根， y＝a的图象与g(x)＝x－xln x的图象有且仅有一个交点， g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x， 当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， g(x)max＝g(1)＝1， g(x)的大致图象如答图，y＝a的图象为平行于x轴的一条直线， 当x趋近于＋∞时，g(x)趋近于－∞， 由函数图象可知，实数a的取值范围是(－∞，0]∪{1}．故选A. 第7题答图 8．已知函数f(x)＝x3＋2x＋1，若f(ax－ex＋1)>1在x∈(0，＋∞)上有解，则实数a的取值范围是(　D　) A．(1，e) B．(0，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【解析】 ∵f(x)＝x3＋2x＋1， ∴f′(x)＝3x2＋2>0，f(0)＝1， ∴f(x)在定义域上单调递增， ∴由f(ax－ex＋1)>1＝f(0)， 得ax－ex＋1>0，即ax＋1>ex. 设g(x)＝ax＋1，h(x)＝ex， 由题意得当x∈(0，＋∞)时，g(x)的图象在h(x)的图象上方． 又∵g(0)＝1，h(0)＝1，g′(x)＝a，h′(x)＝ex， ∴需满足g′(0)＝a>h′(0)＝1， 即a>1.故选D. 9．已知函数f