5.3.2 第1课时 函数的极值（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第二册数学同步课件及教参（人教A版2019）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 [见学生用书P54] 1．当函数y＝x·2x取极小值时，x的值为(　B　) A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2 【解析】 ∵y＝x·2x，∴y′＝2x＋x·2xln 2＝(1＋xln 2)·2x.令y′＝0，则1＋xln 2＝0，解得x＝－.故选B. 2．若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　A　) A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3 【解析】 ∵f(x)＝ax3＋bx， ∴f′(x)＝3ax2＋b. 又∵函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2， ∴f(1)＝a＋b＝－2，f′(1)＝3a＋b＝0， 解得a＝1，b＝－3.经检验，满足条件．故选A. 3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　B　) 第3题图 A．当x＝1时，f(x)取极大值 B．当x＝2时，f(x)取极大值 C．当x＝3时，f(x)取极小值 D．当x＝4时，f(x)取极大值 【解析】 由题图可知 f′(－1)＝0，f′(2)＝0，f′(4)＝0. 当x∈(－∞，2)时， f′(x)≥0，函数f(x)为增函数； 当x∈(2，＋∞)时， f′(x)≤0，函数f(x)为减函数， ∴x＝2为函数f(x)的极大值点，无极小值点．故选B. 4．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2在x＝2处取得极值，则实数a＝__6__. 【解析】 ∵f(x)＝2x3－ax2＋2， ∴f′(x)＝6x2－2ax， ∴f′(2)＝24－4a＝0， 解得a＝6. 5．已知函数f(x)＝x3－x2＋m在区间(0，2)上有极值，则实数m的值为__2__. 【解析】 ∵f(x)＝x3－x2＋m， ∴f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1. 又∵函数f(x)＝x3－x2＋m在区间(0，2)上有极值， ∴f(1)＝1－＋m＝，解得m＝2. 6．已知曲线y＝ex＋x2－ax在区间(0，1)内存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0，e＋1) B．(1，e＋1) C．(0，e＋2) D．(1，e＋2) 【解析】 ∵y＝ex＋x2－ax，∴y′＝ex＋2x－a. 又∵曲线y＝ex＋x2－ax在区间(0，1)内存在垂直于y轴的切线， ∴ex＋2x－a＝0在区间(0，1)内有实数解． 易知函数y＝ex＋2x－a是增函数， ∴解得a∈(1，e＋2)．故选D. 7．若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则实数a的值为(　B　) A．－2 B．3 C．－2或3 D．－3或2 【解析】 ∵f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x， ∴f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)． 又∵x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝1＋2(a＋1)－(a3＋a－3)＝0，解得a＝3或a＝－2. 当a＝3时，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)， 当x>1或x<－9时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当－9<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴x＝1是函数f(x)的极值点； 当a＝－2时， f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， ∴f(x)在R上单调递增，没有极值，不符合题意，舍去．故选B. 8．函数f(x)＝x2·cos x在区间上的图象大致是(　B　) 【解析】 ∵函数f(x)＝x2·cos x在区间上满足f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，A，C错误；当x∈时，f′(x)＝2xcos x－x2sin x，令f′(x)＝0，得xtan x＝2，易得函数g(x)＝xtan x在(0，)上单调递增，g()＝＜2，∴原方程的解x>，即函数的极大值点x>，B正确，D错误． 故选B. 9．已知函数g(x)＝ex－x2有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是(　B　) A．(0，e) B．(e，＋∞) C. D． 【解析】 ∵g(x)＝ex－x2，∴g′(x)＝ex－ax，记g′(x)＝f(x)，则题设条件可转化为函数f(x)有两个不同的零点． 当a≤0时，f(x)在R上单调递增，不符合题意； 当a>0时，f′(x)＝ex－a，令f′(x)＝ex－a＝0，解得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增． ∵f(x)有两个不同零点， ∴f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a<0， 由 解得a>e，即实数a的取值范围是(e，＋∞)，故选B. 10．若函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值