4.3.1 第2课时 等比数列概念的应用（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第二册数学同步课件及教参（人教A版2019）

第2课时　等比数列概念的应用 [见学生用书P20] 1．在3与9之间插入两个数，使这四个数成等比数列，则插入的这两个数之积为(　D　) A．3 B．6 C．9 D．27 【解析】 设插入的两个数为a，b，则由等比数列的性质得3×9＝ab，∴ab＝27. 2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率之比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　D　) A.f B．f C.f D．f 【解析】 ∵每一个单音的频率与它前一个单音的频率之比都等于， ∴an＝an－1(n≥2，n∈N*)． 又∵a1＝f，∴a8＝a1q7＝f·()7＝f.故选D. 3．已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列．若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　A　) A．30 B．20 C．10 D．5或40 【解析】 设等差数列的公差为d， ∵a2，a4－2，a6成等比数列， ∴(a4－2)2＝a2·a6， ∴(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)， 即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，解得d＝0或d＝3. 又∵公差d≠0， ∴d＝3， ∴am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10×3＝30.故选A. 4．一个蜂巢中有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……若将这个找伙伴的过程继续下去，则第5天所有蜜蜂归巢后，这个蜂巢中共有__7_776__只蜜蜂． 【解析】 设第n天所有蜜蜂归巢后，这个蜂巢中共有an只蜜蜂，则由题意得a1＝6，a2＝6＋6×5＝62，a3＝63，a4＝64，a5＝65＝7 776. 5．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精后填满水，倒出1升混合溶液后再填满水……以此继续下去，则至少应倒__4__次后，才能使容器内纯酒精的体积与总溶液的体积之比低于10%. 【解析】 由题意得，起初纯酒精的体积与总溶液的体积之比为1，操作一次后纯酒精的体积与总溶液的体积之比为a1＝，设操作n次后纯酒精的体积与总溶液的体积之比为an，则an＝，∴<，解得n≥log210＞3(n∈N*)，∴至少应倒4次后才能使容器内纯酒精的体积与总溶液的体积之比低于10%. 6．已知某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次(1个分裂成2个)，则经过3小时这种细菌可由1个繁殖成(　B　) A．511个 B．512个 C．1 023个 D．1 024个 【解析】 由题意得，这种细菌的繁殖个数成首项为1，公比为2的等比数列，经过3小时共分裂9次，则经过3小时这种细菌可由一个繁殖成1×29＝512(个)．故选B. 7．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　D　) A．n100 B．n10 C．100n D．10n 【解析】 将插入的n个正数之积记作Tn，由等比数列的性质得Tn＝100＝10n.故选D. 8．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap·aq，且a2＝4，则a10等于(　D　) A．－40 B．40 C．－1 024 D．1 024 【解析】 ∵数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap·aq，且a2＝4， ∴a4＝a2·a2＝4×4＝16，a6＝a2·a4＝4×16＝64， ∴a10＝a4·a6＝16×64＝1 024.故选D. 9．设等比数列{an}共有2n＋1(n∈N*)项，其中，奇数项之积为S，偶数项之积为T.若S，T∈{100，120}，则an+1的值为(　A　) A. B． C．20 D．或 【解析】 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 S＝a1·a3·…·a2n+1＝a·q0+2+4+…+2n＝a·qn(n+1)＝(a1qn)n+1＝a， T＝a2·a4·…·a2n＝a·q1＋3＋5＋…＋2n－1＝a·qn2＝(a1qn)n＝a，∴S＝T·an＋1. ∵S，T∈{100，120}，∴T>1.又∵n∈N*，∴an＋1>1，∴S＝T·an＋1>T，即S＝120，T＝100， ∴an＋1＝＝＝.故选A. 10．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝，a3＋a4＝1，则a7＋a8＋a9＋a10的值为__12__. 【解析】 设等比数列的公比为q， 则q2＝＝＝2， ∴a7＋a8＋a9＋a10＝q6(a1＋a2＋a3＋a4)＝8×＝12. 11．已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则＝__4__. 【解析】 ∵log2an