3.3 垂径定理 课件 2022--2023学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理 1.探索证明垂径定理及其逆定理. 学习目标 2.应用垂径定理解决问题. ③AM=BM, ●O A B C D └ ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 条件 结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 猜想探索 M ⌒ ⌒ ∴AC=BC, 理由如下: 连接OA、OB, ∵ OA=OB ,CD⊥AB, ∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC (三线合一） ∴ AD=BD. ⌒ ⌒ ●O A B C D └ M ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言 垂径定理 判断下列图形，哪些能使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可—— 直径（过圆心的线），垂直于弦 × × √ 想一想 B O C D A O C D E ③CD⊥AB, 垂径定理的逆定理 ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. M ⌒ ⌒ ∴AC=BC, 理由如下: 连接OA、OB, 　AD=BD. ⌒ ⌒ ●O A B C D └ ∴CD⊥AB（三线合一） 又由垂径定理, ∵ OA=OB , AM=BM. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ 想一想 O C D B A ●O 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 ∵CD是直径, AB是弦（不是直径）， AM=BM, ∴CD⊥AB, AC=BC, ⌒ ⌒ 　AD=BD. ⌒ ⌒ 符号语言： A B └ C D M 垂径定理和垂径定理的推论 如图,下列五个条件中: ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ A B ●O C D └ M 5个条件中，任满足2个，剩下3个结论都成立. 由 ② 、 ③ ，得① 、 ④ 、 ⑤. 常用此方法来确定圆心的位置. B A O C E O D C F 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。 ⌒ ⌒ ⌒ 知识应用 解这个方程，得R=545. E O D C F 解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。 ∵OE⊥CD 根据勾股定理，得 OC²=CF² +OF² 即 R²=300²+(R-90)². 所以，这段弯路的半径为545m. 1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。 随堂练习 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AB=37.4，CD=7.2， ∴ OD=OC－CD=r－7.2 ∵半径OC⊥弦AB, ∴ 解得：r≈27．9（m） 即: r2=18.72+（r－7.2）2 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 r2 =d2+( )2 2 a h+d=r 解: 如图用弧AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为r． 过圆心O作弦AB的垂线OC， D为垂足，OC与弧AB相交于点C， 2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ O C D B A O C D B A O C D B A F E 有三种情况：1.圆心在平行弦外； 2.圆心在其中一条弦上； 3.圆心在平行弦内。 随堂练习 若⊙O中弦AB∥CD。 那么AC＝BD吗？为什么？ ⌒ ⌒ 解：AC＝BD，理由是： 作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 则AM＝BM，CM＝DM （垂直于弦的直径平分弦所对的弧） ∵AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . M C D A B O N ⌒ ⌒ 1.利用圆的轴对称性研究了垂径