5.5.1两角差的余弦公式（第1课时）（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

5.5.1两角差的余弦公式（第1课时）导学案 【学习目标】 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 【自主学习】 推导：如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P. 思考：P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？　　　 【答案】P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β)) AP＝A1P1 两角差的余弦公式 名称 简单符号 公式 使用条件 两角差的余弦 C(α－β) 【答案】cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β为任意角 【当堂达标基础练】 １ 利用公式证明： （１）= ; （２）= ． 证明: (1)= + =0＋1×=． (2)== + =(-1)×．＝－ ． ２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值． 解：由，∈(,),得 又由，是第三象限角，得． 所以=+ =() ×()+() ×()= 【解析】 【解析】 【解析】 【解析】 【当堂达标提升练】 一、单选题 1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝(　　) A.　 B. C．－ D．－ 【答案】B　 【解析】∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°， ∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝. 2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　　) A.　　　　　 B. C. D．－ 【答案】B　 【解析】cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝. 3．cos(－15°)的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. 4．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 【答案】B　 【解析】由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，检验知选B. 5．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】因为sin α＝，α是第二象限角， 所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝. 6．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. 【答案】A　 【解析】∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝， ∵β为第三象限角，sin β＝－， ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 7．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　　) A. B. C．－ D. 【答案】A　 【解析】由题意可得sin α＝，cos α＝， cos＝coscos α＋sinsin α ＝×＋×＝. 8．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A　 【解析】∵θ∈， ∴θ＋∈，∴sin ＝＝. cos θ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝.] 二、填空题 9．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________. 【答案】 　【解析】cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝. 10．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 【答案】 【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝. 11．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝________. 【答案】cos(α＋γ－2β)　 【解析】原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ) ＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ) ＝cos[(α－β)－(β