5.4.3正切函数的性质与图象（教学设计）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.4.3 正切函数的性质与图象 教学目标 学习目标 1.能画出正切函数的图象．(重点) 2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点) 核心素养 1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，培养数学抽象的核心素养； 2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，提升直观想象的核心素养； 3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养。 教学重难点 重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 学情分析 本节的主要内容是正切函数的图象和性质，上一节学习了正弦、余弦函数的图象和性质，为本节研究正切函数的图象和性质奠定了基础 ，为函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 请问:研究正弦函数、余弦函数之后你积累了那些经验？ 事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题. 研究太阳光和地面的角度问题常常用到哪个函数的性质与图象呢?   提示　正切函数. 通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 新知讲授 【知识一：正切函数的周期性与奇偶性】 1. 周期性 由诱导公式，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数，周期是π． 2.奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z， 可知，正切函数是奇函数． 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？ 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如图5.4.9，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 === ；由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， 当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线＝ 根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）． 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 【知识二：正切函数的单调性与值域】 ３.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增． 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增． ４.值域 当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R． 例６. 求函数的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量的取值应满足; ≠+；即 ≠+2 所以，函数的定义域是 设z=，又， 所以= 即 = 因为, 都有= 所以，函数的周期为２． 由 解得； 因此，函数在区间(, ), , 上单调递增． 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 课本练习 【答案】 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 课堂小结 1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图