广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校　2023-2024学年上学期九年级12月月考数学试卷

深中南山创新学校2023-2024学年第一学期九年级12月月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为6，则弦BC的长为（　　） A．6 B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（　　） A．2 B．π C．4－π D．π－2 4．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a＋2b＋c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2＋bt≤a＋b．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤ 5．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）与一次函数y＝ax＋c（a≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 7．下列四个命题中不正确的是（　　） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 8．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．－3＜n≤－1或 B．－3＜n＜－1或 C．n≤－1或 D．－3＜n＜－1或n≥1 9．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（　　） A． B． C． D． 10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　） A． B．12cm C． D．14cm 二．填空题（每题3分，共15分） 11．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于 　 　． 12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 　 　． 13．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2＋b，若AB长为4，则图中CD的长为 　 　． 14．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC＝2，则AB的长为 　 　． 15．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　 　． 三．解答题（共55分） 16．（6分）计算： （1）sin230°＋2sin60°＋tan45°＋cos230°； （2）． 17．（6分）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号． （1）求点D到地面的距离； （2）求立柱AB的高为多少米． 18．（8分）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795－1881）曾给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0），N（n，0），则m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋（－b－m）2，AB2＝（1－c）2＋b2，在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋（－b－m）2＝（1－c）2＋b2．化简得：m2＋bm＋c＝0．同理可得：　 　． 所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．