4.3.2等比数列的前n项和性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的前n项和的性质 ------人生的奔跑，不在于瞬间的爆发，而在于途中的坚持。 1、Sn的前k项和、中k项和、尾k项和性质； 学习目标： 2、等差数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系; 3、等差数列{an}的前n项和Sn的最值问题。 性质：数列{an}是等比数列等价于 例 练习： 思考： 若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，m为正整数，那么Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列,且公差为m2d. 类比等差数列，在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m有什么性质呢？ 二、Sn的前k项和、中k项和、尾k项和性质 练习2、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ ） A．X＋Z＝2Y C．Y 2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X) D 补充例题：已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，奇数项和是85，偶数项和是170，这个数列的项数是？ 提示： 解： 两式联立解得： 1、Sn的前k项和、中k项和、尾k项 和性质； 2、等差数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系; 3、等差数列{an}的前n项和Sn的最值问题。 小结 一、等比数列的前n项和公式与函数的关系 剖析:①当公比q≠1时,我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn=,它可以变形为Sn= - ·qn+,设A=,上式可写成 Sn= - Aqn+A.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,是n的正比例函数. ②当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点. 在等比数列中,间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列.即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列,公比为qk(q≠-1). 【例题2】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n. 解法一:∵S2n≠2Sn,∴q≠1. 由已知,得 ②÷①,得1+qn=,即qn=.③ ③代入①,得=64. 故S3n==64×=63. 解法二:∵{an}为等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), ∴S3n=+S2n=+60=63. 练习1：已知等比数列的前20项的和为30,前30项的和为70,则前10项的和为　　　　　.  解析:∵S20=30,S30=70,且数列为等比数列, ∴S10,S20-S10,S30-S20是等比数列, 得S10·(S30-S20)=(S20-S10)2,∴S10(70-30)=(30-S10)2, 解得S10=10或90. 又∵S20=S10+S10·q10=(1+q10)·S10>S10,(其中q为原等比数列的公比),∴S10=90舍去.∴S10=10. 思考：对等比数列{an}，数列 有什么样的性质？ 结论：对等比数列{an}，数列 为等比数列。 例3．若{an}是等比数列，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋aeq \o\al(2,3)＋…＋aeq \o\al(2,n)＝(　　) A. (2n－1)2 B. eq \f(1,3)(2n－1)2 C. 4n－1 D. eq \f(1,3)(4n－1) D [解析]　由Sn＝2n－1得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2. ∴公比为q＝2，可知数列{aeq \o\al(2,n)}是等比数列，公比为q2＝4. ∴aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋aeq \o\al(2,3)＋…＋aeq \o\al(2,n)＝eq \f(1－4n,1－4)＝eq \f(1,3)(4n－1)． 补充例题：等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比q; (2)若a1-a3=3,求Sn. 解:(1)依题意,有2S3=S1+S2,即a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,所以q=-. (2)由已知,可得a1-a1=3,解得a1=4. 从而Sn==. $$