4.3.2等比数列的前n项和课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的前n项和 学习目标： 1、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系； 2、能准确说出公式的内容及公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之相关的问题； 3、通过对公式推导方法的探索，体会特殊到一般，类比与转化等数学思想。 复习等比数列的有关概念和性质 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 由此可知，等比数列 的通项公式为 … … 由等比数列 的定义： 如果一个数列 是等比数列，它的公比是q， 若m+n=p+k，则那么 印度国际象棋发明者的故事 （西 萨） 古印度国王要奖励国际象棋发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘（一共有64个格子）的格子里放上麦粒，依次放2,4,8，…粒（即从第二个格子起，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍），直到64格里都放满麦粒；请给我足够的麦子以实现上述要求。”请判断国王能否实现诺言。 ? 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下赏小 人几粒麦就 搞定. OK 第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子 … 它是以1为首项，公比是2的等比数列， 分析：由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为： 麦粒的总数为: 如何求和？ 得: 2S64= 2+22+ ······ +263+264 （2） （1）-（2）得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019 令：S64=1+2+22+ ······ +263 （1） ， 以小麦千粒重为40克，麦子质量超过7000亿吨！ 麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。 ⑵ ⑴－⑵，得 由此得q≠1时， 设等比数列 它的前n项和是 ⑴ 即 上面的算法其实给出了求等比数列前n项和的方法---错位相减法 以字母代替数来探究 ∵ 显然，当q=1时， 8 2、等比数列的前n项和公式 设等比数列{an}，首项a1,公比q，其前n项和为Sn，则 等比数列的前n项和公式的推导2 … … 由等比数列 的定义： 当q≠1时， 当q=1时? 等比数列的前n项和公式的推导3[来源:Zxxk.Com] 当q=1时? 当q≠1时， 例1、求下列等比数列前8项的和 已知 a1 、n、 q时 已知 a1 、an、 q时 等比数列的前n项和公式 根据下表的已知量，求相应等比数列 的有关未知量 3 2 6 1 -512 -341 3 -2.7 - 知三求二 解： n+1 练习：判断下列计算是否正确 n n个 一种方法：错位相减法 方程思想 化归思想 分类讨论思想 课堂小结 二个公式： ( q=1). (q≠1). 三个思想： 注：(1)在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论(q=1或q≠1). (2)当q≠1时,若已知a1及q,则用公式Sn=较好;若已知an,则用公式Sn=较好. 【练习】在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 解:由Sn=及an=a1·qn-1,得 ①÷②,得,解得2n=64,则n=6.代入①,得a1=3. 反思:等比数列的前n项和公式中共有五个量:Sn,an,a1,q,n.“知三求二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是将所得方程相除. 【练习】已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q. 错解:由等比数列的前n项和公式, 得S3==6,解得q=-2.故a3=a1q2=2×(-2)2=8. 错因分析:在上面的求解过程中,没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn=,从而有可能出现漏解情况. 正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2. 若q≠1,则由等比数列的前n项和公式, 得S3==6,解得q=1(舍去)或q=-2. 此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8. 反思:在使用等比数列的前n项和公式解题时,要注意对公比q是否为1进行讨论.当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=. $$