4.3.1等比数列的概念课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 引入新知 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ① ② ③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： ④ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是： 2，4，8，16，32，64，…   ⑤ 4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 引入新知 观察并说出它们的运算特点？ ① ② ③ ④ 2，4，8，16，32，64，…    ⑤ a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥⑥ 9 100 5 它们的运算特点从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 探究 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然 )． 注：①等比数列的每一项和公比都不为0. ③非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. 新知探索 新知探索 与等差中项类似，如果在 与 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．此时 推广: 等比数列{an}中的某一项ak是与该项等距离的两项ak-m,ak+m(k>m)的等比中项,即=ak-m·ak+m. 例1. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． (1) 3，9，15，21，27，33. (2) 4，-8，16，-32，-128. (3) ， ， ， ， ， (4) 1，1.1，1.21，1.331，1.4641； 新知探索 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得 所以 由此可得 这就是说，当时上式也成立．因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为 ． 不完全归纳法 因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题4：上述解法涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？为了直观说明这个问题，我们来看一个图 我们在建筑工地常见一些管材如图这样堆放， 第一层1根 第二层2根 第n层n根 这堆管材根数就可以表示为 为了方便我们数这些数目，我们可以利用将多个不等数的求和转化成多个相等数的求和的思想，将这个图象倒置平移后跟原图组成一个平行四边形 这样，倒置的图形管材根数可以表示为+ 而整个四边形每一层有n+1根，一共有n层 所以：+n*(n+1) 从而可以得到 我们把这种通过倒序配对，把n个不同数的求和转化成n个相同数的求和方法求和方法叫做：倒序相加法， 设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得 即 ． 所以 左右两侧分别依次相乘