专题09 利用导数研究函数的单调性（九大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型•高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题09 利用导数研究函数的单调性 （九大题型+过关检测专训） 目录： 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 题型2：利用导数求函数的单调区间（不含参） 题型3：由函数的单调区间求参数 题型4：由函数在区间上的单调性求参数 题型5：函数与导函数图像之间的关系 题型6：含参分类讨论求函数的单调区间 题型7：利用导数比较大小 题型8：利用导数解不等式 题型9：复合函数，抽象函数等导数的应用 题型1：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数． 【答案】在区间上，是增函数；区间上，是减函数 【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性. 【解析】由题意可得：， 令，解得；令，解得； 所以在区间上，是增函数； 在区间上，是减函数（如下图）．    2．讨论函数在区间内的单调性． 【答案】单调递增 【分析】求导得到函数单调性. 【解析】由于在上恒成立， 故在上单调递增. 3．已知函数．讨论的单调性． 【答案】在上单调递减，在上单调递增． 【分析】利用函数的二次求导判断函数的单调性. 【解析】因为，所以， 令，，故单调递增． 又， 所以当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 题型2：利用导数求函数的单调区间（不含参） 4．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解. 【解析】（1）因为函数的图象过点,所以, 又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直, 所以, 由解得,所以. （2）由(1)知， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以在单调递增，单调递减， 单调递增， 根据函数在区间上单调递增， 则有或，解得或. 5．已知函数．求函数的单调区间． 【答案】的减区间为，增区间为． 【分析】对求导，利用导数与单调性的关系即可求解. 【解析】， 令，可得，令，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 所以的减区间为，增区间为． 6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可. 【解析】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减. 故选：D. 题型3：由函数的单调区间求参数 7．若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值. 【解析】由题设在区间上单调递增，所以恒成立， 所以上恒成立，即恒成立， 而在上递增，故. 所以A符合要求. 故选：A 8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，则在上恒成立，结合函数单调性得最值，即可得的取值范围. 【解析】若函数在区间单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立； 又函数在上递减，所以恒成立，则 故的取值范围是. 故选：D. 9．若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数有两个不等根计算即可. 【解析】由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间， 则有两个不相等的实数根，∴，解得且， 故实数a的取值范围为， 故选：C. 题型4：由函数在区间上的单调性求参数 10．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调区间，可得出区间的包含关系，即可得出的取值范围. 【解析】因为，该函数的定义域为，， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 因为函数在区间上单调， 则或或， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 11．函数在,内单调递增，则的取值范围为（   ） A．, B．, C． D． 【答案】B 【分析】首先对求导：；函数在内单调递增，即在上恒有，则在上恒成立，求函数最值即可得的取值范围． 【解析】首先对求导：，且知函数的定义域为； 函数在内单调递增，即在上恒有． 即：在上恒成立． 因为在上的单调递减，又； 所以的取值范围为． 故选：B． 12．若对任意，，都有，则m的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先将已知不等式变形得到，然后构造函数并分析其单调性，由此求解出的最小值. 【解析】因为，， 所以， 整理得, 设，则只要在上单调递减即可, 又，令，得