极值点偏移问题课件-2024届高三数学一轮复习

2024届高考数学复习专题★★ 极值点偏移问题 设函数x)的极值点为xo, 行)=的两根的中点刚好满足1士2=， 即 2 极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数x)在x=x两 侧， 函数值变化快慢相同；若上”， 则极值点偏移，比时函数x)在x= x两侧，函数值变化快慢不同， 极值点偏移问题是高考时常光顾的考点 技法1 对称构造法求极值点偏移问题 [师生共研过关] 例① 己知函数断x)=xe'c∈R): ()求函数x)的单调区间和极值： (2)若x1≠x2,fe)fc2),求证：x1十x2>2. [解](1y'c)=(1一x)ex,′(x)=0,解得x=1, 当x变化时，f'c),f)的变化情况如下表： (-°，1) (1,+∞) f'(x) 十 0 f(x) 极大值 ·fx)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，fx)在x=1处取得极 大值。 (2)证明：构造辅助函数Fx)fx)f(2一x),x>1, 则F'x)f'x)f'(2-x)=e(1一x)+e2x-1)=c-1)e2-e5 当x>1时，x-1>0,e2-e5>0, .F'x)>0,.Fx)在(1，十∞)上单调递增，且x→1时，Fx)→0， ∴.Fx)>0,故当x>1时，fx)f(2一x),(*) 由c1)fc2),x1≠x2,可设x1<1≤x2, 将2代入(*)式可得x2)f(2一x2), f(xI)f(x2),.f(xi)f(2-x2). 又x1<1,2一x2<1,而f)在(-∞，1)上单调递增. 1>2一x2,即x1+x2>2. 技法点拨 对称构造法，主要用来解决与两个极值点之和（积相关的不等式问题.其解题要 点如下： (定函数（极值点为），即利用导函数符号的变化判断函数的单调性， 进而确定 函数的极值点xo; 〔2)构造函数， 即根据极值点构造对称函数Fx)fx)f(2xo一x),若证rw2>x行， 则合Fw)f)寸 (3)判断单调性，即利用导数讨论Fx)的单调性； (4)比较大小，即判断函数Fx)在某段区间上的正负，并得出x)与(2xo一x)的大小 关系； (⑤)转化，即利用函数)的单调性，将x)与f(2xo一x)的大小关系转化为x与2x0一x 之间的关系， 进而得到所证或所求. 0训练 己知函数)=c一1)e-a,a∈R. (1)若函数断x)有两个零点，求a的取值范围； (2)设x1,x2是函数x)的两个零点，证明：x1十x2<0. 解：(1)x)=0得a=x-1)e,合g)=x一1)e,"g'x)=e+(c-1)e=xe, 由g'x)>0得x>0,·函数gx)在(0，十∞)上单调递增， 由g'(x)<0得x<0,·函数gx)在（一∞，0）上单调递减， :当x=0时，函数x)有极小值同时也是最小值， gc)min=g(0)=-1,当x→+∞时，gr)→+∞，当x→-∞时，gc)<0,且gc)→0， 则要使a=gx)有两个不同的零点，则一1<a<0,即当一1<a<0时，函数c)有两个零点. (2)证明：：x1,x2是函数x)的两个零点，·由(1)知1x2<0,耳fx1)=fr2)=0, 不妨设x1<0,x2>0,则一x2<0,合F)fx)f(一x)=(c-1)e+(1+x)e. 则F'x)=x(e-e,当x<0时，F'x)=x(e-e)>0,此时Fx)在(-o,0)上为增 函数， Fx)<FO),即Fx)fx)f(-x)K0,即yx)f(-x), ”一x2<0,·f(一x2)fx2),"f1)f(c2)=0,·f(一x2x1): 由(1)知，fx)在(-o,0)上为减函数，·一x2>x1,即x1十x2<0 技法2 消参减元法求极值点偏移问题 [师生共研过关] 例2 己知函数x)=nx一ax,a为常数，若函数x)有两个零点x1,x2,求证： x2>e2. [证明]：函数x)有两个零点x1,x2,÷lnx1一c1=0,lnx2一c2=0, x+nx2=a+x).Inx-x=ax).ixInx2=a. X1一X2 欲证明c2>e,即证nx+ln2>2,”n:1+nx2=ac,十，÷即证心十 :原命题等价于证明n二n2, x12c1二x2), x1一x2x1十x2 即证n21+≥ g则e1.g0=n”小g0-}-0+0 2(t-1) “g0在(1，+)上单调递增，又：g(0=0,六g0>g(0=0,nP1-1, 即x12>e2. ☑技法点拨 消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数.消参减元 法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值 点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数.其解题要点如下. (①)建方程：求函数的导函数，'()=0，建立极值点所满足的方程，抓住 导函数中的关键一导