特征根之高阶数列递推课件-2024届高三数学一轮复习

特征根之高阶数列递推 学校：肇院实验学校 授课老师：高爱花 知识梳理 第一部分 2 知识梳理 特征根法是一种求解数列通项公式的方法，适用于形如的递推关系式，其中为常数。特征根法的基本步骤包括： 1、根据递推关系式，写出特征方程；解特征方程，求得特征根； （根据初始条件，确定通项公式中的待定系数；写出数列的通项公式）。 2、需要注意的是，在使用特征根法时，需要先判断特征根是否相等，如果特征根相等，则需要根据初始条件确定待定系数。 2023/12/19 3 特征根法 1、what? 什么是特征根法？ 1、特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，适用于数列特征方程。 2、特征根是指特征方程的根，也称为特征根法。它是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法，也可以用于通过数列的递推公式（即差分方程）求通项公式 特征根法 2、why? 使用特征根法求解数列通项公式的原因有以下几点： 简便性：通过求解特征方程，我们可以直接得到数列的通项公式，而不需要逐一计算每一项。 通用性：特征根法适用于形如的递推关系式，不仅限于等差数列和等比数列等特殊数列。这种方法可以广泛应用于各种类型的数列问题，帮助我们更好地解决数学问题。 精确性：特征根法可以精确地求解数列的通项公式，不会出现近似解或误差较大的情况。这种方法基于严格的数学理论，可以保证求解结果的精确性和可靠性。 总之，特征根法是一种简便、通用、精确和扩展性强的方法，可以广泛应用于求解数列通项公式和其他数学问题。掌握这种方法可以帮助我们更好地解决各种数学问题，提高解题效率和准确性。 特征根法 3、when? 什么时候用特征根法： 特征根法可以用于求解形如的递推关系式，其中为常数。这种递推关系式可以描述一系列数列的规律，例如等差数列、等比数列等。因此，当需要求解这类数列的通项公式时，可以使用特征根法。 具体来说，当数列的递推公式表现出一定的规律性时，可以尝试使用特征根法来求解通项公式。例如，形如的递推公式，其中为常数，可以使用特征根法来求解通项公式。 典型例题 第二部分 7 特征根之高阶数列递推 例1、已知数列 满足，数列 的通项公式。 构造法：待定系数法（形如： 题干： ： 构造一个新的等比数列，且公比为p 从而利用等比数列的通项公式求解即可 特征根法： 解得 题干; 与题干对应 显然, (特征根方程） 解得（特征根） 从而构造）的等比数列 题干： 显然： 特征根方程： 令 解得 1、已知数列 满足，数列 的通项公式。 特征根方程： 特征根法： 解得 课堂练习： 1、已知数列 满足，数列 的通项公式。 2、已知数列 满足，数列 的通项公式。 一阶特征根法： 解得 思考：形如， 根据题干： 构造 令 从而(构造出关于的等比数列） 关键求s与t 构造 整理得: 根据题干： 显然：, 根据韦达定理:得到特征根方程 例1、已知数列 满足， 数列 的通项公式。 根据题干： 构造 关键求s与t 特征根方程： 解得特征根： 即令 放入构造的数列 从而数列是以1为公比，的等比数列。 所以： ，（变为一阶的特征根法） 特征根方程： ,解得 从而构造 例1、已知数列 满足， 数列 的通项公式。 专题总结 第三部分 16 模式： ， 思路:构造 根据题干： 从而： 根据韦达定理： 根据韦达定理： 从而： (为方程的两个根） 把s,t递推数列的两个特征根 快速做法：关于关系式对应一元二次方程 得 若该方程有两个根，则数列通项可以表示为 则,待定常数。 则,待定常数。 总结： ， 特征根方程： 解得特征根： 即令 即 令（如何求 将， 从而 例1、已知数列 满足， 数列 的通项公式。 课堂练习: 1、已知数列 满足， 数列 的通项公式。 2、已知数列 满足， 数列 的通项公式。 THANKS 延时符 21 $$