2.4 线段的垂直平分线 第2课时 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

第2章 图形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线第2课时 1.能用尺规作图完成“过一点作已知直线的垂线”. 2.能运用轴对称变换解决最短路径问题. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 任务一：用尺规作图完成“过一点作已知直线的垂线”. 活动：利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段的中点的垂线，如图，已知直线l，要过一点P作直线l的垂线，点P与直线l的位置关系可能是什么？ 小组讨论，解决如下作图问题，并说说你的作图思路： 1.如图①，已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ 2.如图②，已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ l · P l l · P 图① 图② 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 当点P在直线l上(图③). 作法: ①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过点P的直线l的垂线. · P A B l 图③ · P A B l 画弧的半径为什么要大于P到l的距离？ 图④ 3.由上述解题过程，你能归纳出过一点作一条直线的垂线的方法吗？与同学交流. 当点P在直线外(图④) 作法: ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过P点的直线l的垂线. C D C D 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 活动小结 基本作图“过一点P作一条直线的垂线”的方法 无论点P是在直线上还是直线外，都是先设法在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等.再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直. 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 练一练 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，不写作法） 解：作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．如图，直线AD即为所求： 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 任务二：运用轴对称变换解决最短路径问题. 活动：我们知道“两点之间，线段最短”，请同学们利用所学的轴对称知识解决下列情景问题. A l B C 连接AB,与l相交于点C，根据两点之间，线段最短，可知点C即为所求. 情景：有A，B两个蓄水池，为了方便灌溉作物，要在河边l建一个抽水站，江河水送 到A、B两池，该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？ 问题1：如图，假设两蓄水池A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？ 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 问题2：如图，若A，B两个蓄水池都在河流a的同侧，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理. 作法： (1)过点B作直线l的垂线BC，垂足为C； (2)延长CB至B'，使CB'=CB； (3)连接AB'，与直线l交于点P. 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点. A B l B ′ P 理由：l是BB'的垂直平分线，所以 PB=PB'，根据“两点之间线段最短”，可知当A，P，B'在一条直线上时，AP+PB'的值最小，也就是AP+PB的值最小 C 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 练一练 在OA，OB上求作点M，N，使PM＋MN最小． 解：先作出点P关于x轴的对称点P′， 过点P′作垂线垂直于OB， 垂线交OA、OB的交点分别为M、N． 总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. O A B ·P P′ M N 活动探究 学习目标 当堂检测 课堂总结 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC．用尺规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. A 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 2．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN的上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=（ ） A．75° B．90° C．45° D．60° C 活动探究 课堂总结 当堂检测 学习目标 针对本节课的关键词“垂线”，你能说说学到了哪些知识吗？ 轴对称 基本作图“过一点P作一条直线的垂线”的方法 解决最短路径问题：轴对称知识+“两点之间，线段最短” 课堂总结 当堂检测 活动探究 学习目标 $$