天津市第二十中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

第 1页,共 4页 2023-2024 学年度高二数学第二次统练 一、单选题 1.若直线�1: �� + � + 2 � + 2 = 0 与直线�2: � + �� − 2 = 0 平行,则� =( ) A.2 B.−1 C.2或−1 D.−2或 1 2.已知数列 �� 满足�� = 1 3 − � � + 2, � > 8 ��−7, � ≤ 8 � ∈ �∗ ,若对于任意� ∈ �∗都有�� > ��+1,则实数� 的取值范围是( ) A. 0, 1 3 B. 0, 1 2 C. 1 2 , 1 D. 1 3 , 1 2 3.等差数列 �� 的前四项之和为 124,后四项之和为 156,各项和为 210,则此数列的项数为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知等差数列 �� , �� 的前 n项和分别为��,��,且 �n �n = 2�+1 4� ,则 �5 �5 =( ) A.1 2 B.19 36 C.5 8 D. 8 13 5.双曲线�: � 2 �2 − � 2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的左、右焦点分别为�1, �2,以�1为圆心, �1�2 为半径的圆与� 的左支的一个公共点为�,若原点�到直线��2的距离等于实半轴的长,则双曲线�的离心率为( ) A.5 3 B.5 4 C. 5 2 D. 6 2 6.已知数列 �� 中,若�1 = 0, ��+1 = ��− 3 3��+1 � ∈ �∗ ,则�2020等于( ) A.0 B.− 3 C. 3 D.1 7.如图,在 ���中,�� = 2�� ,过点 M的直线交射线��于点 P,交�� 于点 Q,若�� = ��� , �� = ��� ,则�+ �的最小值为( ) A.3 B.2 2 C.1 + 2 2 3 D. 3 8.抛物线�: �2 = 2��的焦点�是双曲线�2: �2 � − � 2 1−� = 1 0 < � < 1 的右焦点,点�是曲线�1, �2的交点, 点�在抛物线的准线上,����是以点�为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线�2的离心率为( ) A. 2 + 1 B.2 2 + 3 C.2 10 − 3 D.2 10 + 3 第 2页,共 4页 9.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯, 杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之 作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线�: � 2 �2 − � 2 �2 = 1 � > 0, � > 0 的右支与直线� = 0,� = 4,� =− 2围成的曲边四边形 ABMN绕 y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口 外直径为 10 3 3 ,下底外直径为 2 39 3 ,则下列曲线中与双曲线 C有共同渐近线的是( ) A.� 2 9 − � 2 3 = 1 B.� 2 9 − � 2 3 = 1 C.� 2 6 − � 2 3 = 1 D.� 2 3 − � 2 6 = 1 10.直线� = � + �与曲线� = 1 − �2有且仅有一个公共点,则�的取值范围是( ) A.−1 < � ≤ 1或� =− 2 B.−1 ≤ � < 1或� = 2 C.−1 ≤ � < 2 D.|�| = 2 二、填空题 11.直线 l过点 −4,0 且与圆(� + 1)2 + (� − 2)2 = 9 相切,那么直线 l的方程为 . 12.设数列 �� 前 n项和为��,�� = �2 + � + 5,则数列 �� 的通项公式为 . 13.如图,三棱柱��� − �1�1�1中,底面边长和侧棱长都等于 1,∠���1 = ∠���1 = 60 , 求异面直线��1与��1所成角的余弦值 . 14.数列 �� 满足�1 + 2�2 + 22�3 +⋯ + 2�−1�� = 1 3 � + 1 � � − 1 ,若对任意� > 0, 所有的正整数 n都有�2 − �� + 2 > ��成立,则实数 k的取值范围是 . 15.已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0)的左、右焦点分别是�1, �2,过右焦点�2且斜率为 2的直线与椭 圆相交于�, �两点,若满足��2 = 3�2� ,则椭圆的离心率为 . 三、解答题 16.(1)求与椭圆� 2 9 + � 2 4 = 1 有相同的焦点,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程. (2)已知椭圆的两个焦点之间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在 x轴上的椭圆的标准 方程. 第 3页,共 4页 17.已知点�(2,0),圆�的圆心在直线� − � − 5 = 0 上且与�轴切于点�(0, − 2), (1)求圆�的方程; (2)若直线�过点�