5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时周期性和奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 复习回顾 1.正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中，五个关键点是哪几个? 2.余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中，五个关键点是哪几个? 正弦、余弦函数的图象 y=sinx x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y y=cosx 定义域 值域 R [ - 1, 1 ] 问题1 如果我们把“与今天相隔的天数”作为自变量x，“星期几”作为函数值f(x)，那么它们之间存在一个怎样的关系呢？ 问题2 表达式f(x+7)=f(x)是怎样描述周而复始的现象的？ x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... f(x) 自变量 x 增加或减少7，函数值不改变. 问题3 回顾我们是怎样获得y=sinx (x∈R)的函数图像？ 诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z) 周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且 f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 思考：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小正数？ 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。 2π,4π,……,－2π,－4π，……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数的周期,最小正周期是2π. 公式一：sin(x+2kπ)=sinx cos(x+2kπ)=cosx 正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，且k≠0 ）都是它的周期，最小正周期是2π. 余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，且k≠0 ）都是它的周期，最小正周期是2π. 1.周期T为非零常数。 2.等式f(x +T)=f(x)对于定义域内任意一个x都成立。 3.周期函数不一定有最小正周期。 如：常值函数f(x)=2 (x∈R) 周期为任意实数. 如果不加特别说明，本书所指的周期一般是最小正周期。 注意： 如： 成立,但 不是正弦函数y=sinx，x∈R的一个周期。 结论 1:设T是f(x) 的周期，则___ (k为非零整数)也是f(x)的周期， 即 f(x+kT)=_____。 kT f(x) 例:已知f(x)的周期为2,f(1)=1.则f(-3)＝____ 解：因为已知f(x)的周期为2， 则2k(k为非零整数)也是f(x)的周期. 即 f(x+2k)=f(x) 所以f(-3)=f(-3+2×2)=f(-3+4)=f(1)=1 1 （1）y＝3sin x，x∈R； 解 ：（1） ∀x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sin x， 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π． 例1.求下列函数的周期： （2）y＝cos 2x，x∈R； 解 ：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π， 即cos（z＋2π）＝cos z， 于是cos（2x＋2π）＝cos 2x， 所以cos 2（x＋π）＝cos 2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π． 解 ：（3）令 ，由x∈R得z∈R， 且y＝2sin z的周期为2π， 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π． 于是 ， 所以 ，x∈R． （3）y＝　　　　　　　　　 ． 即 （1）y＝3sin x，x∈R； 函数的周期为2π． （2）y＝cos 2x，x∈R； 函数的周期为π． 函数的周期为4π． （3）y＝　　　　　　　　　 ． 你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 练习 1.求下列函数的周期： （1），x∈R; （2），x∈R; （3），x∈R; （4），x∈R; 奇偶性 看f(x)与f(－x)的关系 sin(-x)= - sinx (xR) y=sinx(xR)是奇函数 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y cos(-x)= cosx (xR) y=cos