上海市七宝中学、松江一中、松江二中2023-2024学年高三上学期11月联考数学试题

上海市七宝中学，松江一中，松江二中11月联考 一、填空题（共48分） 1．（本题4分）复数的共轭复数满足，则 . 2．（本题4分）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 3．（本题4分）设函数,若，则 ． 4．（本题4分）已知向量则的最大值为 ． 5．（本题4分）已知，若，则的最小值是 ． 6．（本题4分）数列满足，则 ． 7．（本题4分）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 8．（本题4分）已知直线过坐标原点且斜率均大于0，的倾斜角是的两倍，是双曲线的一条渐近线，过的右焦点作的垂线，垂足为.若恰好在上，则的离心率为 ． 9．（本题4分）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为 . 10． （本题4分）对于正整数,记表示的最大奇数因数，例如.设.当时， ． 11．（本题4分）已知矩形ABCD中，分别为，的中点．将沿直线翻折至的位置，若为的中点，则 ；为的中点，在翻折过程中，当为正三角形时，三棱锥的外接球的表面积是 . 12．（本题4分）定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 . （1）    （2） （3）    （4） 二、单选题（共16分） 13．（本题4分）已知集合，集合，则C的子集的个数为（    ） A．3 B．8 C．7 D．16 14．（本题4分）在锐角中，若，且，则能取到的值有（    ） A．2 B． C． D．4 15．（本题4分）已知函数，若实数，则函数的零点个数为（    ） A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 16．（本题4分）已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线： ①；②；③． 其中，“正三角形”曲线的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（共86分） 17．（本题12分）某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值； (2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率． 18．（本题12分）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，，，，A为PD的中点，将沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点. (1)若M为PD的中点，证明：平面ABM； (2)若，试确定M的位置，使二面角M-AB-D的余弦值等于. 19．（本题12分）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 20．（本题16分）设正整数m，n满足，，，，…，为集各的n元子集，且； （1）若，满足； （i）求证：； （ii）求满足条件的集合的个数； （2）若中至多有一个元素，求证：. 21．（本题16分）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． (1)若，求的值； (2)若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； (3)已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 22．（本题18分）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， （1）若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； （2）当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. （3）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. ①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； ②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并