4.2.2等差数列前n项和性质(3) 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列前n项和（3） 探究差数列前n项和的性质 拓展:等差数列性质： 本节课:继续探究等差数列前n项和性质： 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　) A．12　　 B．18 C．24 D．42 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm＝1，S3m＝4，试求S6m. C 解:∵Sm,S2m－Sm,S3m－S2m…成公差为d的等差数列 ∴设S2m－Sm＝x，则S3m－S2m＝2x－1 变式练习 完成下列算法，并从特殊推广到一般，你有什么发现？ 探究 完成下列算法，并从特殊推广到一般，你有什么发现？ 感悟1 例3：求下列两题：(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 故该数列的公差为5. 例3：求下列两题：(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 所以这个数列的中间项为11 ，共有2n+1=7项 变式练习 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 变式 练习1 方法三： 例5:一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10，求前110项之和. 例5:一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10，求前110项之和. 拓展:从特殊到一般，你有什么发现？ 小结反思 升华素养 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 1.P24练习:T1-T5 2.活页作业<<等差数列前n项的性质及应用>>B级 课后作业 注意：等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq \f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等． 练习2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________． 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216， ∴a1＋an＝36， 又Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝324， ∴18n＝324，∴n＝18. 答案：18 两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋1)，求eq \f(an,bn). 两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋1)，求eq \f(an,bn). 解析：设an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e. 取n＝1，则eq \f(a1,b1)＝eq \f(S1,T1)＝eq \f(1,2)，所以b1＝2a1. 所以eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(na1＋\f(nn－1,2)d,nb1＋\f(nn－1,2)e)＝eq \f(a1＋\f(n－1,2)d,b1＋\f(n－1,2)e)＝eq \f(a1＋\f(n,2)d－\f(d,2),2a1＋\f(n,2)e－\f(e,2))＝eq \f(2n,3n＋1)， 故en2＋(4a1－e)n＝eq \f(3,2)dn2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1－\f(3,2)d＋\f(d,2)))n＋a1－eq \f(d,2). 从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)＝0，,4a1－e＝3a1－d，,e＝\f(3,2)d.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(d＝2a1，,e＝3a1.))所以eq \f(an,bn)＝eq \f(2n－1,3n－1). 方法二：设Sn＝an2＋bn，Tn＝pn2＋qn(a，b，p，q为常数)， 则eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(an＋b,pn＋q)＝eq \f(2n,3n＋1)，所以3an2＋(3b＋a)n＋b＝2pn2＋2qn从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a＝2p，,3b＋a＝2q，,b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2q，,b＝0，,p＝3q，)) 所以Sn＝2qn2，Tn＝3qn2＋qn. 当n＝1时，eq \f(a1,b1)＝eq