5.5.1 简单的三角恒等变换第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(第1课时) 5.2.2 简单的三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 复习引入 余余正正 (哭哭丧丧） 符号相反 正余余正 (丧哭哭丧） 符号相同 符号上同 下不同 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.二倍角公式 分析：请大家想一想，本题中已知和所求的三角函数式中的角有什么特点？ 已知和所求角之间有2倍关系. 解： 有了和（差）角公式和二倍角公式，进而可以解决三个角的和与差的问题，多个角的和差问题，多倍角的问题等，既然倍角解决了，那么你能尝试半角吗？ 学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 学习新知 例1.试以 表示 . (1)已知角 与待求角 有什么关系？ (2)怎样运用倍角公式解决？ 解： 例1.试以 表示 . 【记忆方法】 半角公式带根号，是正是负看半角. 综合例1结论 特点: （1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数； （2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？ 所以得证． 证法一：因为 练习1：求证： 注意到等式两侧所含角为二倍关系 练习1：求证： 又 即 所以 得证． 证法二：因为 此题给出了不需要讨论正负号的半角正切公式. (注意公式的选取.) 例2.求证 证明： (1) sin(+) ＝ sin cos +cos sin  sin(- ) ＝ sin cos -cos sin  两式相加，得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sin cos  积化和差 和差化积 (1)式子中所包含的各个角有怎样的关系？你能得到什么样的启示？ 根据(1)式子中存在两角及它们的和与差(反之也是)，式子结构从积到和差(反之也是)，式子结构从二次到一次(反之也是)，要消除这种差异，你可以从哪个角度入手呢？ 13 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： (1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ； (2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝ ； (3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ ； (4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝ . 2sin αcos β 2cos αsin β 2cos αcos β －2sin αsin β 由上述(1)～(4)这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式: 积化和差公式 例2.求证 积化和差 和差化积 (2)中式子两边在结构形式上与(1)有什么不同？ 根据两个式子的结构特点，(1)是将正余弦之积化为两正弦之和，(2)是将两正弦之和化为正余弦之积，而且对比角的关系， 且 ，因此考虑到它们之间的联系，采取换元法进行证明. 例2.求证 证明： 追问：不用(1)的结果，如何证明？ 积化和差 和差化积 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： (1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ； (2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝ ； (3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ ； (4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝ . 2sin αcos β 2cos αsin β 2cos αcos β －2sin αsin β 在上述⑴～⑷这四个等式中， 由此可以得到四个相应的和差化积公式： 在上述⑴～⑷这四个等式中， 由此可以得到四个相应的和差化积公式： 和 差 化 积 公 式 正加正，正在前 余加余，余并肩 余减余，负正弦 正减正，余在前 例2的证明用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化