1.3.1 线段垂直平分线的性质与判定 课件 2022--2023学年北师大版八年级数学下册

第1章 三角形的证明 1.3 直角三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 1.经过探索、猜测、证明，学习推理证明的意识和能力 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理 1.掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理 2.线段垂直平分线的性质定理、判定定理的证明 教学目标 重难点 提出问题，导入新课 观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果线段 AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ ___， AD ____ A′D， ∠1 ____∠2 ____ 90°， 即直线 l 既____线段 AA′，又____线段 AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 重合 = = = 平分 垂直 知识要点 我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 探究新知 作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB； 量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？ A B M N C P 相等 你能证明这个结论吗？ 验证结论 已知：如图所示，直线MN⊥ AB，垂足是C，并且AC=BC，P是MN上任一点. 求证：PA=PB. A B C N P M 证明：∵ MN⊥ AB ， ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°. 又∵ AC=BC， PC=PC， ∴ △PCA≌ △PCB（SAS）. ∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）. 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A B C N P M 几何语言： ∵ MN⊥ AB ， AC=BC ∴ PA=PB 知识要点 典型例题 例 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 典型例题 提出问题，探索新知 你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识吗？ 逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 逆定理定义：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 探究新知 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能说出它的逆命题吗？ 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？ 验证结论 已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB． 求证：P 点在 AB 的垂直平分线上． A B C P 验证结论 证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC， ∵ PA = PB， PC = PC， ∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）． ∴AC = BC， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上． A B C P 你还有其他的证明方法吗？ 验证结论 证明：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线. ∵AP = BP，PC = PC. AC = CB， ∴△APC ≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）. 又∵∠PCA +∠PCB = 180°， ∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB. ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上. A B C P 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 归纳总结 例 已知：如图 △ABC 中，AB = AC，O 是△A