第2章 2.2 滚动过关小练(四)（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

滚动过关小练(四) [测试范围：2.2] 一、选择题 1．若a>0，b>0，a＋3b＝1，则＋的最小值为　(　C　) A．2 B．2 C．4 D．3 【解析】 ∵a>0，b>0，a＋3b＝1， ∴＋＝＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，∴＋的最小值为4.故选C. 2．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值为(　C　) A. B．4 C. D．8 【解析】 由题意，得xy＝×2xy≤×2＝×2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，∴xy的最大值为.故选C.　 3．若正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　A　) A．9 B．8 C．5 D．4 【解析】 ∵x＞0，y＞0，x＋4y－xy＝0， ∴＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当＝， 即x＝6，y＝3时，等号成立，∴x＋y的最小值为9.故选A. 4．已知x>0，y>0，4x·32y＝2，则＋的最小值为(　C　) A．2 B．8 C．4 D．6 【解析】 ∵4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝2， ∴2x＋5y＝1. ∵x>0，y>0，∴＋＝＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， ∴＋的最小值为4.故选C. 5．已知x>0，y>0，且＋＝2.若4x＋y>7m－2恒成立，则实数m的取值范围是 (　C　) A．m>2 B．m> C．m<2 D．m< 【解析】 ∵x>0，y>0，＋＝2， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝≥＝×(12＋12)＝12，当且仅当＝，即x＝，y＝6时，等号成立，∴12>7m－2，解得m<2.故选C. 6．已知正实数a，b，c，d满足a＋b＝1，c＋d＝1，则＋的最小值为(　B　) A．10 B．9 C．4 D．3 【解析】 ∵a，b，c，d均为正实数，a＋b＝1，c＋d＝1， ∴0<ab≤＝，∴≥4， 当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴＋≥4·＋＝(c＋d)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当a＝b＝，且c＝，d＝时，等号成立，∴＋的最小值为9.故选B. 7．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　D　) A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D．a2＋b2≥8 【解析】 ∵a>0，b>0，∴4＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴≤2，0<ab≤4，≥，A，C不成立；＋＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，D成立．故选D. 8．给出下列三个命题： ①已知－1＜a＜b＜0，则＞a2＞ab； ②若正实数a，b满足a＋b＝1，则ab有最大值 ，＋有最大值； ③∀x，y均为正实数，x3＋y3＞x2y＋xy2恒成立． 其中真命题的个数是(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 已知－1＜a＜b＜0，则＞1，1＞a2＞ab＞0，即有＞a2＞ab，①是真命题；若正实数a，b满足a＋b＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，有最大值，＋＝≤＝＝，当且仅当a＝b＝时，有最大值，②是真命题；∀x，y均为正实数，x3＋y3－x2y－xy2＝x2(x－y)－y2(x－y)＝(x－y)2(x＋y)≥0恒成立，③是假命题．综上，真命题有2个． 故选C.　 二、填空题 9．已知正实数x，y满足x＋2y＝4，则的最大值为__3__． 【解析】 ∵正实数x，y满足x＋2y＝4， ∴＝≤＝3， 当且仅当x＝2y＋2，即x＝3，y＝时，等号成立， ∴的最大值为3. 10．若实数a>1，b>2，且满足2a＋b－6＝0，则＋的最小值为__4__． 【解析】 ∵a＞1，b＞2，且满足2a＋b－6＝0， ∴2(a－1)＋(b－2)＝2，a－1＞0，b－2＞0， ∴＋＝[2(a－1)＋(b－2)]＝ ≥ ＝×(4＋4)＝4， 当且仅当＝，即a＝，b＝3时，等号成立，∴＋的最小值为4. 11．若x>0，y>0，则的最小值为__2__.　 【解析】 ∵x>0，y＞0，∴＝. 设＝t，则t＞0， ＝＝＝(t＋1)＋－2≥2－2＝4－2＝2， 当且仅当t＋1＝，即t＝1时，等号成立，此时x＝y， ∴的最小值为2. 12．在实数集R中定义一种运算“·”，具有下列性质： (1)对任意a，b∈R，a·b＝b·a； (2)对任意a∈R，a·0＝a； (3)对任意a，b，c∈R，(a·b)·c＝c·(ab)＋(a·c)＋(b·c)－5c. 则函数y＝x·(x>0)的最小值为__3__.　 【解析】 令c＝0，则由(3)，得(a·b)·0＝0·(ab)＋(a·0)＋(b·0)． 又由(1)(2)，得(a·b)·0＝a·b＝ab＋a＋b， 则y＝y·0＝·0