2.2 第1课时 基本不等式（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1．已知x>0，则x＋的最小值为(　D　) A. B．1 C. D. 2．若正数a，b满足2a＋＝1，则＋b的最小值为(　D　) A．4 B．8 C．8 D．9 【解析】 ∵a>0，b>0，且2a＋＝1， ∴＋b＝＝5＋＋2ab≥5＋2＝5＋4＝9， 当且仅当＝2ab，即a＝，b＝3时，等号成立，∴＋b的最小值为9.故选D.　 3．若a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为　(　B　) A．5 B. C．4 D. 【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝＋2＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立， ∴＋的最小值为.故选B. 4．已知x＞0，y＞0，z＞0，且＋＝1，则x＋y＋z的最小值为__9__． 【解析】 ∵x＞0，y＞0，z＞0，且＋＝1， ∴x＋y＋z＝(x＋y＋z)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9， 当且仅当＝，即x＝3，y＋z＝6时，等号成立， ∴x＋y＋z的最小值为9. 5．设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为__3＋2__． 【解析】 ∵a>1，b>0，∴>0，>0. ∵a＋b＝2，∴(a－1)＋b＝1， 则＋＝＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝3－，b＝－1时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. 6．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　(　B　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝ab，∴＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝2时，等号成立，∴a＋b的最小值为4.故选B. 7．若正实数x，y满足x＋y＝4，＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．m＜ B．m＞ C．m≤ D．m≥ 【解析】 ∵两个正实数x，y满足x＋y＝4， ∴＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， ∴＋的最小值为. 又∵不等式＋≥m恒成立，∴m≤.故选C. 8．若x>2，则－x的最大值为(　D　) A．0 B．－1 C．－2 D．－4 【解析】 ∵x>2，∴x－2>0， ∴－x＝－≤－＝－(2＋2)＝ －4，当且仅当＝x－2，即x＝3时，等号成立，∴－x的最大值为－4. 故选D. 9．已知x>0，y>0，若不等式＋≥恒成立，则实数a的最大值为(　A　) A．9 B．12 C．18 D．24 【解析】 ∵x>0，y>0，不等式＋≥恒成立，∴a≤(x＋2y)恒成立． 又∵(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋4＝9，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立，∴a≤9，即a的最大值为9.故选A. 10．设实数x>0，y<0，且＋＝1，则2x＋y的最大值为__3－2__． 【解析】 ∵＋＝1，x>0，y<0， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝3＋＋ ＝3－≤ 3－2 ＝3－2，当且仅当－＝－，即x＝1－，y＝1－时，等号成立， ∴2x＋y的最大值为3－2. 11．已知a，b，c都是实数，则__≤__a2＋b2＋c2. 【解析】 ∵a2＋b2≥2ab，① b2＋c2≥2bc，② c2＋a2≥2ac，③ a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2，④ 由①＋②＋③＋④，得 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴a2＋b2＋c2≥， 即≤a2＋b2＋c2. 12．已知a>0，b>1，且a＋b＝2，则＋的最小值为__15__． 【解析】 ＋＝a＋＋＝a＋＋＝a＋＋b＋1＋＝＋＋3. ∵a＋b＝2，∴a＋(b－1)＝1， ∴＋＋3 ＝[a＋(b－1)]＋3 ＝6＋＋＋3 ＝9＋＋ ≥9＋2 ＝9＋6＝15， 当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立， ∴＋的最小值为15. 13．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥＋＋. 证明：∵a>0，b>0， ∴a＋b≥2，a＋1≥2，b＋1≥2， 以上三式相加，得2(a＋b＋1)≥2＋2＋2， ∴a＋b＋1≥＋＋，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 14．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1，求证：a＋b＋c<＋＋. 证明：∵a，b，c都是正实数，且abc＝1， ∴＋≥2＝＝2c，同理，＋≥2a，＋≥2b， 以上三式相加，得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 又∵a，b，c不全相等，∴a＋b＋c<＋＋. 15．已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则的最小值为____． 【解析】 ∵a＞b＞0，且a＋b＝2， ∴0＜b＜1＜a＜2，b＝2－a， ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ≥ ＝ ＝， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立， ∴的最小值为.