1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是(　C　) A．∀x＞1，x2≤1 B．∀x≤1，x2≤1 C．∃x＞1，x2≤1 D．∃x≤1，x2≤1 2．已知命题p：∃x∈R，3x<x3，则命题綈p是(　C　) A．∀x∈R，3x<x3 B．∃x∈R，3x>x3 C．∀x∈R，3x≥x3 D．∃x∈R，3x≥x3 3．命题“∃x∈R，≥0”的否定是(　D　) A．∃x∈R，≤0 B．∃x∈R，＜0 C．∀x∈R，≤0 D．∀x∈R，＜0 4．命题“∀x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是__∃x∈∁RQ，x3∉Q__． 5．已知命题p：∃x∈R，x≤1，或x2＞4，则命题綈p是__∀x∈R，x>1，且x2≤4(或∀x∈R，1<x≤2)__． 6．针对某校一次考试有命题p：所有理科学生都会做第1题，则命题p的否定是(　B　) A．所有理科学生都不会做第1题 B．至少有一个理科学生不会做第1题 C．存在一个理科学生会做第1题 D．至少有一个理科学生会做第1题 7．给出下列四个命题： ①有理数是实数； ②有些平行四边形不是菱形； ③∀x∈R，x2－2x＞0； ④∃x∈R，2x＋1为奇数． 以上命题的否定为假命题的是 (　D　) A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【解析】 原命题①是真命题，则①的否定是假命题； 原命题②是真命题，则②的否定是假命题； 当x＝0时，不等式不成立，即原命题③是假命题，则③的否定是真命题； 原命题④是真命题，则④的否定是假命题． 综上，以上命题的否定是假命题的是①②④.故选D. 8．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是　　(　D　) A．命题綈p是全称量词命题，是真命题 B．命题綈p是存在量词命题，是真命题 C．命题綈p是全称量词命题，是假命题 D．命题綈p是存在量词命题，是假命题 【解析】 命题p：实数的平方是非负数，即∀x∈R，x2≥0，是全称量词命题，是真命题，则綈p是存在量词命题，是假命题．故选D. 9．已知命题p：∃x>t(t∈R)，3<x2<9，且x>1，则命题綈p是(　D　) A．∃x≤t(t∈R)，x≤，或x≥3 B．∃x＞t(t∈R)，x≤，或x≥3 C．∀x≤t(t∈R)，x≤，或x≥3 D．∀x>t(t∈R)，x≤，或x≥3 10．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是__∃x＞0，≤x＋1__． 11．若命题p的否定是“∃x∈R，(x＋1)(x－1)≤－2”，则命题p是__真__命题(选填“真”或“假”)． 【解析】 p：∀x∈R，(x＋1)(x－1)＞－2. ∵(x＋1)(x－1)＝x2－1≥－1＞－2， ∴命题p是真命题． 12．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0.若命题綈p是真命题，则实数a的取值范围是__a≤__． 【解析】 ∵命题綈p是真命题， ∴命题p是假命题． ∵当命题p是真命题时，不等式ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立， ∴解得a＞， ∴当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的取值范围是a≤. 13．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)能被8整除的数都能被4整除． 解：(1)原命题的否定是“存在实数m，使得方程x2＋x＋m＝0没有实数根”．当Δ＝1－4m<0，即m＞时，该方程没有实数根，故原命题的否定是真命题． (2)原命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，是假命题． (3)原命题的否定是“任意一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题． (4)原命题的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整除”，是假命题． 14．已知命题p：对任意满足1≤x≤2的实数x，x2－a≥0恒成立，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题綈p和q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：∵x2在1≤x≤2上的最小值是1， ∴a≤(x2)min＝1. ∵綈p是真命题，∴p是假命题，∴a＞1. ∵q是真命题，∴方程x2＋2ax＋2－a＝0有解， ∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即2≥，解得a≤－2，或a≥1. 综上，a＞1. 15．已知命题p：任意x∈R，≥0，则命题綈p是__存在x∈R，x2－2x－3≤0__，命题綈p是一个__真__命题(选填“真”或“假”)． 【解析】 命题p可转化为“任意x∈R，x2－2x－3＞0”，则命题綈p是“存在x∈R，x2－2x－3≤0”．∵x2－2x－3≤0，即(x－1)2≤4，解得－1≤x≤3， ∴命题綈p是真命题． 16．已知m∈R，命题p：对