21.1+21.2一元二次方程 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

一元二次方程 【知识网络】 【知识点复习】 · 考点1：一元二次方程有关概念 · 1、一元二次方程的概念 （1） 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、最高次数是2. · 2、一般形式 温馨提醒： · 定义中的“等号两边都是整式”是指原方程的等号两边都是整式，而不是化简之后等号两边都是等式；定义中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”则是对整理化简之后的方程而言的。 · “a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分。当a=0，b≠0时，方程变成了bx+c=0，是一元一次方程，所以二次项系数中含有字母时，若二次项系数不确定，则这个方程不一定是二元一次方程。反之，若已经明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0的条件。 · 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式。在一般形式中确定各项系数时注意不要忽略各项的符号。 · 3、一元二次方程的根 （1） 定义：使方程左右两边相等的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 （2） 判断一个数是不是一元二次方程的根：将这个数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 [知识点小练] 例1 判断下列关于x的方程是不是一元二次方程. ①；②；③；④ 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2 （1） （2）. 例3 判断下列方程后面括号里的数是不是方程的解. （1） （2）. 例4 已知是关于的一元二次方程，则= . 例5 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值为 . · 考点2：解一元二次方程 · 1、直接开方法解一元二次方程 （1） 定义：通过开平方的运算解一元二次方程的方法叫做直接开方法。 （2） 求解步骤：①将方程转化为或的形式（即二次项的系数化为1）。 ②分情况求解：当时，或（再进一步求出和值）；当时，或（再进一步求出值）；当时，方程无实数根。 · 2、配方法解一元二次方程 （1） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2） 一般步骤: · 3、公式法解一元二次方程 （1） 定义：解一个具体的一元二次方程是，把各项系数直接带入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。它是解一元二次方程的一般方法。 （2） 求根公式： 一元二次方程的求根公式为（≥0）. （3） 公式法解一元二次方程的一般步骤： · 4、因式分解法解一元二次方程 （1） 5、定义：先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 （2） 一般步骤： · 5、选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 适用范围 说明 直接开方法 形如或的一元二次方程 方程没有一次项时用直接开方法较为简单（最直接的方法） 配方法 适合所有的一元二次方程 二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 适合所有的一元二次方程 配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且较小时，首选公式法（万能方法） 因式分解法 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的形式的一元二次方程 方程没有一次项时用因式分解法比较简单；当方程中含有括号时，应观察是否能看成整体，直接因式分解（最简单的方法） [知识点小练] 例1 （2022黑龙江）解方程： （1） ； （2）9 用配方法解下列方程：例2 （1） ； （2）3 例3 用公式法解下列方程： （1） ； （2）2 例4 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） · 考点3：根的判别式和根与系数的关系 · 5、一元二次方程根的判别式 （1） 定义，在推导一元二次方程的求根公式的过程中，当≥0时，的两边才能直接开方，这个式子叫做一元二次方程的根的判别式。常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=. （2） 在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即Δ=确定。 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=时，方程有两个相等的实数根； 当Δ=时，方程没有实数根。 温馨提醒： · 使用一元二次方程根的判别式时，应将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的值； · 当Δ=时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根； · 一元二次方程有实数根包含的两种情况：方程有两个相等的实数根和方程有两个不相