2.2基本不等式教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 必修一第二章不等式 §2.2基本不等式 主讲人：徐孟 在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础。 根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助. 学习目标 1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释； 2.理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵； 教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路. 教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明； 2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路. 教具准备 “三环六步”教学法，多媒体及课件 一．教学过程 【课前自学】阅读教材 【导入新课】 探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？  提问1设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？[来源:学科网ZXXK] 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab. 提问2请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab. 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab. 【知识归纳】一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 提问3当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 即 (a＞0,b＞0). 我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 提问4能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？ 要证：，① 只要证a+b≥2，②[来源:学科网ZXXK] 要证②，只要证：a+b-2≥0，③ 要证③，只要证：④ 显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. ［合作探究］ 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.表示半弦长，表示半径长.由半径大于半弦可得.当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0). 二．知识梳理 知识点一　重要不等式 一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 知识点二 基本不等式 当a＞0,b＞0时，即 其中a＞0,b＞0，当且仅当a=b时等号成立 知识点三 两种解释 （1）算数平均数与几何平均数 当a＞0,b＞0时，把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2） 几何意义 3． 题型探究 【探究1】基本不等式的理解 例1　给出下面四个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因为x，y∈(0，＋∞)，所以lg x＋lg y≥2； ③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ④因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－＋≤－2 ＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析　从基本不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，所以②的推导过程是错误的； ③因为a∈R，a≠0不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的； ④由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 拓展提升 基本不等式≥(a>0，b>0)的