2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 不等式 §2.2基本不等式 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ 提问1 图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？ 提问2 在上面的图形背景中，a，b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？ 一般地，对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. a2+b2≥2ab. 知识点一　重要不等式及证明 如果a，b∈R，那么a2＋b2 2ab(当且仅当 时取“＝”). 证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”. 提问3 特别地，如果a＞0，b＞0，我们用 分别代替a、b ，可得什么不等式? 知识点二　基本不等式 证明： 两种理解： (1)算术平均数与几何平均数： 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 不小于 (2)几何意义： 反思是数学思维的核心与动力 归纳小结 作业布置 必做题 选做题 完成导学案上的课堂检测 完成课本课后B组练习 谢谢指导！ 学习目标 1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的证明；理解两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的集合解释. 2.理解当且仅当a＝b时取等号的数学内涵. 学习重难点 1.重点: 数形结合的思想理解基本不等式；从不同角度探索基本不等式的证明过程；从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路. 2.难点: 对基本不等式从不同角度的探索证明；通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路. 教学流程 “三环六步”教学法 ≤，其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立. ∵a＋b－2＝()2＋()2－2· ＝(－)2≥0. ∴a＋b≥2. ∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 基本不等式的几何解释： 如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.由射影定理或三角形相似可得CD＝eq \r(ab)，由CD小于或等于圆的半径eq \f(a＋b,2)，可得不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立． eq \o(□,\s\up5(03))算术平均数 eq \o(□,\s\up5(04))几何平均数 (2)形式： ； (3)成立的前提条件： ； (4)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． eq \o(□,\s\up5(05)) eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) eq \o(□,\s\up5(06))a，b是正数 eq \o(□,\s\up5(07))a＝b 1.重要不等式 对于任意实数a，b，有a2＋b2 2ab，当且仅当 时等号成立． 2．基本不等式 (1)对任意两个正实数a，b，eq \f(a＋b,2)叫做a，b的 ，eq \r(ab)叫做a，b的 ； eq \o(□,\s\up5(01))≥ eq \o(□,\s\up5(02))a＝b 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)对于任意实数a，b都成立．(　　) (2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(　　) (4)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq \r(2). (　　) 探究eq \o(\s\up7(),\s\do5(1))　　基本不等式的理解 例1　给出下面四个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2； ②因为x，y∈(0，＋∞)，所以lg x＋lg y≥2eq \r(lg x·lg y)； ③因为a∈R，a≠0，所以eq