5.2.2同角三角函数的基本关系学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学《精品教学案》 专心听讲，勤于思考。 《精品教学案》 及时复习，认真完成。 章节 5.2.2 课题 同角三角函数的基本关系 教 学 目 标 理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α+cos2 α=1，=tan α． 教学重点 同角三角函数基本关系式的推导与正向使用 教学难点 同角三角函数基本关系式的逆向使用 【新知探究】 一、同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 变形公式 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. 商数关系 ＝tanα 同一个角α的正弦、余弦的商等于角 α的正切 sin α＝cosα tanα；cos α＝. 注意：这里的“同角”指的是“同一个角”，与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立， sin2＋cos2＝1也成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立. 同角三角函数sinα，cosα，tanα三者中已知一个可求其它两个，步骤如下 (1)根据已知三角函数值及符号，确定角的终边所在的位置． (2)根据角的终边所在的位置进行分类讨论． (3)利用两个基本关系式，求出其它两个三角函数值． 特别地，已知tanα的值，求关于sinα，cosα的二次式的值时，常用1的代换和弦化切思想． 二、sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中已知一个可求其它两个， 例如已知sin α＋cos α的值，求sin α－cos α和sin αcos α的步骤如下 (1)由sin α＋cos α平方得sin αcos α，(2)求sin α－cos α的平方，根据差的符号，确定正负． 判定sin θ－cos θ的正负的方法：当θ的终边落在直线y＝x上时，sin θ＝cos θ，sin θ－cos θ＝0； 当θ的终边落在直线y＝x的左上半平面区域内时，sin θ＞cos θ，所以sin θ－cos θ＞0； 当θ的终边落在直线y＝x的右下半平面区域内时，sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0． 判定sin θ＋cos θ的正负的方法：当θ的终边落在直线y＝－x上时，sin θ＝－cos θ，sin θ＋cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝－x的右上半平面区域内时，sin θ＞－cos θ，所以sin θ＋cos θ＞0； 当θ的终边落在直线y＝－x的左下半平面区域内时，sin θ＜－cos θ，所以sin θ＋cos θ＜0． 【典型例题】 例1.(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．(2)已知tan α＝－，求sin α，cos α的值． 例2.(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值. (2)已知＝2，计算下列各式的值：①；②sin2α－2sin αcos α＋1. 例3.(1)化简： . (2)已知α是第一象限角， 求证：－＝－. . 高一数学《精品教学案》 班级 ，姓名 。 领先一步，领先一路。 《精品教学案》 集思广益，共同进步。 【达标检测】 A组 1．已知tan α＝－，则＝(　　) A. B．－ C．－ D. 2．已知α∈，sin 2α＝，则tan 2α＝(　　) A．－2 B．2 C.－ D． 3.已知sin θ＝，cos θ＝ ，则tan θ＝(　　) A.－ B．－或－ C．